CHAPITRE VI. — TRANSFORMATION DE TSCHIRNHAUSEN
forme suivante [§ 71, (12)]
(4) r = '3Fo-*-'t(aïFi-^aiF2-+-aoF3);
disposons, en outre, des quantités a©, ai, ol^ de telle sorte que Inéquation du cinquième degré prenne la forme canonique indépendamment des valeurs de ^1 et Je ^3, que par conséquent S (y-) soit identiquement nul, quels que soient ^2 et ^3.
Comme S(Fj) = B3^3 est nul, on satisfait à cette condition [§ "^^j (' 0] ^^ assujettissant ao, a^ a2 à vérifier les relations
(5) ajBco-^aîBi.i -l-a5B2,î4-2aoaiBo,i -+- 2aoaîBo,ï -h 2aia,Bi,, =0, (G) aoBo,3 -+- «i B,,3 -h «2 Bj,, = o.
Éliminant Tune des trois quantités a, le rapport des deux autres est fourni par une équation du second degré. Il n'est d'ailleurs pas nécessaire d'exclure les cas particuliers, pas même celui dans lequel 80,3, Bi^j, 63,3 seraient tous les trois nuls; il suffira de prendre dans ce cas un système quelconque vérifiant l'équation (5).
Pour éviter les longueurs, nous supposerons Bo,3 différent de zéro; nous excluons ainsi les cas 011 l'une des racines de l'équation donnée devient nulle ou infinie; ils n'offrent pas d'intérêt puisqu'on est alors ramené à une équation de degré moindre. La façon de procéder ne change d'ailleurs pas, si l'on suppose une autre des quantités Bo,3, B«^3, 82,3 différente de zéro.
Afin de traiter les équations (5) et (6) d'une manière symétrique, et, en particulier, pour trouver la racine carrée nécessaire à leur résolution, nous procéderons de la manière suivante.
Posons, pour abréger,
IBo = «0 Bo,o H- 3t| Bo,, -+• asBo,2, B, = aoB,,o -H a, B,,, -h ol^ B,,., Bj = ^0 Bj,© -r- ^i Bj j ■+• aj Bj j.
Les équations (5) et (6) s'écrivent alors
l aoBo +a,B, -h dt^i =0, f «0 Bo,3 -H 3£i Bi,3 -h at Bt,s = o.
Multiplions les deux membres de la seconde par un facteur in-
déterminé as, et ajoutons à la première; il vient
(9) ao(Bo-ha3Bo,3)-+-ai(Bi4-a5B|,,)-ha,(Bî4-a5B,,8) = o, équation qui sera vérifiée si l'on a
Bo
Bi -h «381^3 { Bj -l-asBjjS
A l'aide de ces trois équations et des équations (6) on devra déterminer tto, ai, a2, a3, o*. Écrivons d'abord explicitement ces équations :
-+-«8 Bo,î -H «360,3 = 0,
-H «2 ( Bi,, — ff ) -h «3 Bi,3 = O,
aoBs,o-Hai(Bj,,-f-a)-i- aj B,,j -+-«38,^3 = 0,
«oBs,©-^*! B3,i -f-aj B3,j =0.
«oBo,o-*-ai Bo,i ŒoBi,o-f-ai Bi,i
Éliminant ao, aj, a2, a3, il reste une équation du second degré en 0"; cette équation supposée résolue, les rapports mutuels des inconnues ao, ai, a2, a3 sont déterminés par des équations linéaires.
L'équation du second degré en o- s'écrit sous forme de déterminant
Bo,i
Bo,j Bo,3
Bi,o B|,i B,,î — Œ B,,3
B2,o Bj,i -h (T Bj^j B2.3 I
Elle ne change pas quand on permute o* avec — o-; elle ne renferme donc qu'un terme en <t^ et pas de terme en o-. Eu égard à l'équation (12) du § 79, elle devient
D étant le discriminant de l'équation donnée. Nous aurons donc, d'après (2),
le signe devant le radical étant arbitraire.
