CHAPITRE VI. — TRANSFORMATION DE TSCDIRNUALSEN
§ 81. — Forme normale de l'équation du cinquième deg^é.
Ainsi que nous en avons déjà fait la remarque, le but principal de ces considérations est d'arriver à une forme normale de l'équation du cinquième degré, qui ne dépende que d'un seul coefficient indéterminé, d'un seul paramètre.
La forme de Bring-Jerrard satisfait à cette condition. Pour l'obtenir, il suffit [§80, (4)] de poser
de manière à avoir les identités
le rapport — se déduit alors de l'équation du troisième degré
On peut d'ailleurs former véritablement cette dernière équation; elle est très longue; Cayley a calculé les formules nécessaires (*).
Il résulte de recherches remarquables de M. Gordan (2), qu'on peut obtenir une autre forme normale, celle de Brioschi, sans employer de nouvelle irralionnalité. Nous allons démontrer ce fait comme conclusion de nos considérations sur la transformation de Tschirnhausen.
Nous ferons les mêmes hypothèses que dans le paragraphe précédent; posons, pour abréger,
(a) a = Fo, i^ = a,F,-f-aiF2-hF3,
a©, ai, a^ ayant les valeurs déterminées précédemment.
D'après l'équation (4), § 79, les trois fonctions w^, uv^ s>^ s'expriment sous forme linéaire et homogène à l'aide de/o, fx^f'x^
(') Caylky, Sur la transformation de Tschirnhausen {Phil. Trans., 1861; ou Afathematical Papers, l. IV, n» 275). (^) GoHDAN, Afath. Ann., t. XXVIII; 1886.
/a, /i. Par suite des équations
(3; S(M*) = o, S(wp) = o, S(t'«) = o,
ces expressions seront aussi homogènes et linéaires par rapport à F„ F„ F„ F, (§ 74).
Le calcul s'effectue aisément à Taide des formules des §78 et 79; nous ne le pousserons pas plus loin; il nous importe seulement de mettre en évidence l'idée fondamentale. Remarquons simplement que, dans les expressions de 11^^ wc, v^^ les coefficients sont linéaires par rapport aux coefficients de l'équation du cinquième degré donnée, et du second degré par rapport aux quantités olq, a<, «2. Si de ces expressions nous éliminons Fo, F4, F2, F3, à l'aide des équations (2), nous trouvons une relation de la forme
(4) pu^-\~ 2quv -h rv^ = au~^ bi\
dans laquelle les coefficients/?, g^ r^ a^ b dépendent rationnellement des coefficients aj et a/, et ne sont certainement pas nuls à la fois.
Soit, pour l'instant,
l'expression
4cp(e/.',i>')cp(M,i;)-(a'o;,-up' (?',)«
sera (§ 63) le carré d'une fonction linéaire de u et de r; par suite, ©(w, v) se trouve décomposé en une somme de deux carrés. Donnons à w' et v' les valeurs 6 et — a ; il vient
<p(6, — a) ©(m, p)= [b{pu -h qv) — a{qU'\- rv)\^-\-{pr — 9r«)(au-h6v)*;
si, pour abréger, on pose
pb^ — iqab -^ ra^ — m,
bp — ag = a\
bq — ar =: b ^
qi — pr =c, celte équation s'écrit
(6) m{pu^-\- TLqiiv -4- rv^) = (a' u -h b'ç)* — c{au -+■ ôf )*, ou bien, d'après (4),
(7) m (au -i- bv ) = (a^ u -h b' i>)^ — c{au -h bi>)*.
