CHAPITRE VI. — TRANSFORMATION DE TSCHIRNHAUSBN

Faisons maintenant la transformation

au -h bv ■

et formons l'équation du cinquième degré, ayant pour racines les cinq valeurs de y :

(9) yi -+- Ciy^ -H c^y^ -H c,j^* -h cy -4- c^ = o;

les coefficients c pourront se déterminer de la manière suivante. On déduit de Téquation (8)

/- a u -^ b' V '\' \/c{au -\- bv)

•^ au-^ bv

d'où, d'après (7),

a' u-\- b' V — /c ( aa -h 6p ) - =z a' u-\- b'v — ^c(au -+■ bv).

y-^yl

Il en résulte, d'après (3),

Si donc nous transformons l'équation (9) à l'aide de l'équation

\ = ou J- = j ,

y-^\lc Ç

l'équation en \ obtenue ne devra contenir ni terme en ^% ni

terme en Ç*, et cela quel que soit le signe du radical y/c. On en tire quatre équations entre les coefficients Cy de l'équation (9). L'équation en ^ s'écrit

(«~î/ê)Vc,î(i-$/ê)^-f-c,î»(f-^/ê)Vc3$^(i-?/c)*

Annulons les coefficients de Ç* et de $'; il vient

5 v/c^ — 4 Cl /c^ -t- 3 Cj /c* — 1 cj /c -h Cv = o, — 10 /c3 -(- 6ci /c* — v3 rj /c -+- C3 = o.

Ces équations doivent être satisfaites, quel que soit le signe de y/c ; elles fournissent donc les quatre équations

5c*-H ScjC H-Cv = 0, 4c,c-f-2C3 = o,

ioc-4- 3cj = o,

6ciC-\-Cz = o.

De la seconde et de la quatrième on conclut

Cl = o, cz =o;

la première et la troisième donnent alors

l'équation en^ prend alors la forme

Elle dépend encore des deux paramètres C5 et c; on la ramène à ne plus contenir qu'un seul paramètre, à l'aide de la substitution

elle prend alors la forme simple et élégante (12) ^5 — io5'-4- 455 -h Y = o;

c'est la forme normale de Brioschi.

La substitution (i i) a le défaut de contenir encore une racine carrée; dans les formules (8) et (10), au contraire, ne figurent que les racines carrées dont il a été question au paragraphe précédent.

D'après une remarque de M. Klein, on peut déduire rationnellement de l'équation (10) une forme normale ne contenant qu'un seul paramètre.

Posons, par exemple,

l'équation (10) devient alors

(14) -5*-i-i5^^— ioY^*-f- 3y* = o.