CHAPITRE VIL

§ 82. — Oénéralités sur la réalité des racines

et le discriminant.

Nous allons rechercher dans ce Chapitre le nombre des racines réelles d'une équation algébrique. Nous supposerons que les coefficients de Téquation considérée sont réels, et, pour abréger, nous les appellerons équations réelles. Commençons par quelques considérations générales.

L'équation réelle f{x) = o, de degré /i, possède, comme nous Tavons vu dans le Chapitre III, n racines, qui sont ou bien réelles ou imaginaires de la forme \ + «Tj, \ Qir\ étant réelles. D'ailleurs, le nombre des racines n'est effectivement égal à w?, que si l'on compte à l'occasion une même racine m + i fois, lorsque cette racine annule à la fois f{oc) et ses m premières dérivées. D'autre part, une expression complexe de la forme X + i\ n'est nulle que lorsque les quantités réelles X et Y sont nulles séparément; X — «Y s'annule donc en même temps que X + ^Y; d'ailleurs, si on a

on a aussi

(à condition que les coefficients soient réels). La condition y(Ç -f- r/)) = o entraîne doncy(; — ir^) = o; par suite, à chaque racine imaginaire $ H- i'f\ correspond une autre racine imaginaire différente Ç — r/;, qui est dite la conjuguée de la première. Les dérivées /'(s + ^'^)i/'(? + ^"^) s'annulant, il en est de même de /'(Ç — ir\)y f"{\ — /•/)), ... ; il en résulte que des racines imaginaires conj uguées ont le même degré de multiplicité.

Les racines imaginaires sont donc toujours en nombre pair; une équation de degré impair a donc au moins une racine réelle.

Notre but immédiat est de déterminer le nombre des racines réelles, sans résoudre Téquation, à l'aide des valeurs de certaines fonctions rationnelles des coefficients de V équation.

Un rôle très important revient en ceci au discriminant; insistons d'abord sur sa signification dans la question qui nous occupe.

Nous avons défini, au § 50, le discriminant comme étant le produit des carrés des diff'érences des racines deux à deux, ce produit étant multiplié par aj"~', en désignant par a© le coefficient de la plus haute puissance de l'inconnue dans l'équation; nous avons montré à ce moment comment on peut calculer le discriminant en fonction rationnelle des coefficients de Téquation. Le facteur «5"~* ^st toujours positif, et pourrait être supposé égal à l'unité, sans aucune restriction essentielle de la généralité des raisonnements. Nous désignerons le discriminant par D comme précédemment.

La condition nécessaire et suffisante pour que le discriminant soit nul est que deux racines de l'équation soient égales.

Si donc /(a:) a été débarrassée de ses racines égales par la suppression du plus grand commun diviseur de f(x) elf'{x), ce qui se fait par des opérations rationnelles, le discriminant D est certainement différent de zéro.

Pour X\ et X2 réels, (Xi — jjj)^ est positif. Si x^ est réel et Xi