CHAPITRE Vil. — R/tALlTÊ DES RACLNES

imaginaire, soit x., la racine imaginaire conjuguée de Xi ; le produit

est le produit de deux imaginaires conjuguées, donc positif, et, par suite, aussi son carré. Si Xx et x^i sont tous deux imaginaires, mais non conjugués, le produit

est positif, et de même son carré.

Si enfin X\ et x^ sont des imaginaires conjuguées, leur différence est purement imaginaire, et son carré est négatif.

Le discriminant renferme donc autant de facteurs négatifs que Téquation a de couples de racines imaginaires conjuguées ; d'où cette proposition importante :

Soit f(x) = o une équation réelle, n'admettant que des racines simples; le discriminant est positif ou négatif suivant que le nombre des couples de racines imaginaires conjuguées est pair ou impair.

Le cas oij toutes les racines sont réelles appartient donc à ceux où le discriminant est positif.

Pour les équations du second et du troisième degré, il ne peut exister qu'un seul couple de racines imaginaires conjuguées ; notre théorème permet donc de décider immédiatement quel est le nombre des racines réelles d'une telle équation.

§ 83. ~ Discussion des équations du second et du troisième

degré.

Si Ton considère Péquation du second degré

r/o r* H- «1 JT 4- rt| = o ,

on a (§ 50) Donc, si

D > o, deux racines réelles, D < o, deux racines imaginaireF.

286 LIVBE II. — LES ttAClNBS.

Passons à Téqualion du troisième degré

On a

D > o, trois racines réelles,

D < o, une réelle, deux imaginaires.

Le cas de D = o ne donne pour ces équations rien de particulier; en effet, les racines de Téquation du second degré sont alors réelles et égales; des trois racines de l'équation du troisième degré, deux sont égales et, par suite, toutes les trois sont réelles; une racine imaginaire ne peut, en effet, être double, sans quoi il en serait de même de la conjuguée; de même la racine simple ne saurait être imaginaire.

La seule question qui puisse se poser pour Téquation du troisième degré, c'est la recherche de la condition d'égalité des trois racines.

Dans ce cas, le premier membre de l'équation du troisième degré doit être un cube parfait ; on aura donc

ce qui donne, en idenlifîant les coefficients,

éliminant a, il vient

\ a\ — Sao^î = o, ( a,aj — 9«o«3 = o.

Multiplions les deux membres de ces équations respectivement par 02 et «i , et soustrayons ; on trouve

rtj — Jrtia3 = o.

Ces conditions supposées remplies; il en résulte inversement

les trois racines de l'équation sont donc égales.