CHAPITRE VII. — RÉALITÉ DBS RACINES
Il est même possible d^ndiquer les signes des racines de Téquation du troisième degré.
Soient, en effet, a, p, y les trois racines de l'équation
j?' -H ai J7* -i- aj^r -f- a3 = o.
On sait que
(1) a, =(a-i-p-4-Y), a, = 3Y"+-ï«-+-aP> ^3 = — a^y
Si donc D est négatif, une seule racine, a par exemple, est réelle; le produit Py est positif; a aura donc le signe contraire à «3. Si, au contraire, D est positif, les trois racines sont réelles. Supposons a, p, Y positifs; il résulte de (2) les conditions
(3) ûi < o, ai>o, aj<o;
ces conditions, nécessaires poqr que les trois racines soient positives, sont aussi suffisantes; en effet, si une seule des racines est négative, ou bien si les trois racines le sont, on a certainement
Si deux racines P et y étaient négatives, on a ou bien
ail'o, ou bien a>— (^-hy).
Dans ce dernier cas, on aurait
«1 < Pï - ( ? + ï)* - - P^ - Py - ï* ;
donc ^2 serait négatif.
Si, enfin, Tune des racines était nulle, il en serait de même de a^.
En changeant x en — x, on voit que les conditions nécessaires et suffisantes pour que les trois racines soient négatives sont
(i) rti>o, ai>o, ^j>o.
En supposant donc que le discriminant est positif, on peut dresser le tableau suivant, dans lequel les nombres de la dernière
LITRE II. — LES RAa5ZS.
colonne indiquent le nombre des racines positives
En résumé, nous pouvons énoncer la proposition suivante:
En supposant le discriminant positif , le nombre des racines positives de V équation du troisième degré est égal au nombre des changements de signe {variations) dans la suite
I, ai, «1, a,.
\}ï\evariation es^i la succession d'un nombre positif et d'un nombre né^^alif, ou inversement.
Lorsque l'une des quantités a, ou a^ est nulle, les trois racines ne peuvent être de même signe; on a donc une ou deux racines positives.
Pour a., = o, le discriminant se réduit à
S'il est positif, l'équation a une racine nulle et deux racines réelles. Elles seront positives si
négatives si
«i<o, rt, >o;
une seule d'entre elles est positive, si
