CHAPITRE Ylf. — RÉALITÉ DES RACINES
§ 84. — Discussion de l'équation du quatrième degré.
Une équation du quatrième ou du cinquième degré possède zéro, deux ou quatre racines imaginaires. Il y a deux racines imaginaires si le discriminant est négatif. Lorsqu^il est positif, il peut y en avoir quatre ou aucune. Il s^agit de distinguer ces deux cas Vnn de l'autre.
Prenons, pour plus de simplicité^ Téquation du quatrième degré sous la forme réduite
(1) x^-h ax^ -¥■ bx -h c =z o]
on revient aisément de là à la forme la plus générale.
Désignons les racines par a, ^, y, 8 ; posons, comme au § 52,
(2) 'a — y = w -h u, 0 — p = IV — M,
(a — 0 = u -\- V f P — Y=M — Vf
«2, r^, iv^ sont alors racines de la résolvante du troisième degré
(3) ^'-4- 2aj'*-f-(a* — 4c)^— ^* = o;
le discriminant D de cette équation est donné par la formule
(4) 27D = 4(«*-+- i2c)» — (aa* — 72 ac-H 276*)*;
c'est en même temps le discriminant de l'équation (i); enfin, les signes de u, v, iv doivent être choisis de telle sorte que l'on ait
(5) uv,v=-b [§40,(3)].
Lorsque le discriminant D est négatif, Téquation (3) admet deux racines imaginaires conjuguées de même que l'équation (i).
Si D est positif, et si les quatre racines a, p, v, 8 sont réelles, il en est de même de w, ^, iv\ leurs carrés, les racines de l'équation (3), sont donc positives.
Si les quatre racines sont imaginaires, a étant conjugué de ^ et Y de 8, les formules (2) montrent que v el iv sont purement imaginaires et u réel 5 Téquation (3) admet alors une racine positive et deux racines négatives.
Il peut d'ailleurs arriver, dans les deux cas, que Tune des quantités iiy ^, w devienne nulle en même temps que b.
En nous reportant aux résultats établis dans le dernier paragraphe pour Téquation du troisième degré, nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Les conditions nécessaires et suffisantes pour que V équation (i) admette quatre racines réelles et distinctes sont
Dans tous les autres cas oii D est positif, l'équation admet quatre racines imaginaires.
La discussion peut se faire d'une façon aussi complète lorsque D est nul, lorsque, par suite, deux racines de Téquation (i) sont égales.
Supposons Y = 2 ; par suite de l'hjpothèse a-|-p-|-Y-f-5 = o, les équations (2) donnent
et, par suite, d'après (3),
^7) I ,6(«i 4c) = (a-p)«[8(a-hp)ïH-(a-p)»].
Si, en outre, a est égal à p, les équations (7) montrent que a- — ^c est nul; que a est négatif, si a et y sont réels; que a est positif, si a et Y sont imaginaires conjuguées, et, par suite, purement imaginaires, en vertu de la condition
. L'équation du quatrième degré a donc deux racines doubles réelles si
deux racines doubles imaginaires, si
Si, au contraire, a est difl'ércnt de P, il faut que y soit réel.
