CHAPITRE VU. — RÉALITÉ DES RACINES

Les condilions (7) montrent que, si Ton suppose a et ^ réels, a est négatif, et ar — f\c positif; au contraire, si a et ^ sont imaginaires conjuguées, (a — j3)2 est négatif. Dans ce cas, a^ — ^c sera négatif, si son second facteur 8(a -|- P)^ + (a — p)^ est positif; si, au contraire, ce second facteur est négatif, à^ — ê^c sera positif; mais alors, a fortiori, la quantité 2(a -f- j3)2 -f- (a — P)* sera négative et, par suite, a sera positif.

Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que V équation du quatrième degré x^'\-ax'^-^bx-\-c=^ o admette quatre racines réelles, dont deux au plus peuvent devenir égales, sont

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que trois racines

soient égales sont

la résolvante du troisième degré doit donc avoir ses trois racines égales-, il faut pour cela [§ 83, (1)]

Les invariants de l'équation du quatrième degré [§52, (i5), (16)] sont

les équations (11) s'écrivent donc

A=o, B-f-4«A = o; les conditions (i i) sont donc équivalentes à

L'élimination de c entre les équations (11) donne aussi (12) 8a'-f-27Z>» = o.

Enfin, les quatre racines seront égales si (i3) a = o, 6 = 0, c = o.

2g2 LIVRE II. — LES RACINES.

Tous ces résultats sont susceptibles d^une interprétation géométrique ; quoique les considérations géométriques soient en dehors de notre cadre, il nous semble utile d'appeler sur elles l'attention du lecteur.

Considérons a, 6, c comme les coordonnées rectangulaires d'un point de l'espace', ce point pourra être considéré comme l'affixe d'une certaine équation du quatrième degré f{x) = o, ayant la forme (i); toutes les équations admettant une même racine seront représentées par les points d'un plan, ayant pour équation f{x) = o.

L'équation D = o représente une surface du cinquième degré, la surface discriminante, engendrée par la droite d'intersection des plans f{x) = o, f'{x) = o ; c'est donc une surface développable, l'enveloppe des plans /(o:) = o.

Cette surface possède une arête de rebroussement, formée de deux branches; elle est représentée par les équations (i i), (12); en outre, une ligne double ayant comme équations

c'est donc une parabole. Du côté des a négatifs, la surface se traverse elle-même suivant cette parabole. Du côté des a positifs, la parabole se continue à l'état de ligne isolée.

La surface discriminante divise tout l'espace en trois régions, dont deux se rattachent le long de la parabole double; ces régions contiennent les points auxquels correspondent o, 2 ou 4 racines réelles. Désignons ces régions par les notations [o], [2], [4]; les régions [o] et [4] tiennent l'une à l'autre le long de la parabole double, tandis que ces deux régions se rattachent à [2] le long de la surface. Nous désignerons par (o,a), (o,4) les portions de surface qui séparent les régions correspondantes. La partie isolée de la parabole se trouve dans la région [o] ; les arêtes de rebroussement sont sur la portion de la surface qui sépare [4] de [2].

L'origine des coordonnées est un point commun aux trois régions, à leurs surfaces et à leurs lignes limites. Les points appartenant à la portion de surface (o, 2) représentent des équations ayant deux racines réelles et égales et deux racines imaginaires; les points situés sur (2,4) donnent des équations ayant une ra-