CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES. l\l

Si D est différent de zéro, les fonctions A et B sont premières entre elles. Si D est nul, A et B admettent le plus grand commun diviseur C. Remplaçons Cq et C| par leurs valeurs tirées de (i5), chassons le dénominateur, supprimons le facteur gao non nul, changeons le signe; des calculs simples montrent que la condition prend la forme

(19) a\al-hiSaoata%a3 — .j aoaj — 4«î«3 — '^7«o^J = o.

Cette condition est aussi satisfaite quand Cq et C| sont nuls, ainsi qu'on le vérifie par un calcul facile ou par le simple aspect de (18). C'est donc la condition nécessaire et suffisante pour que /(ar) et /'(^) aient un diviseur commun. Le premier membre de (19) est une fonction rationnelle et homogène des coefficients de/*(ic); on l'appelle le discriminant de/(x).

Les équations (3) nous fournissent encore une proposition souvent employée.

La première de ces équations peut s'écrire

en portant cette valeur de A'' dans l'équation suivante, il vient

ce qui peut s'écrire, en désignant par p et/?' des fonctions rationnelles et entières,

Portant ces valeurs de A" et A'" dans l'équation suivante, on trouve pour A^*^ une expression de même forme ; continuant ainsi, on trouve finalement

(22) A(v)=PA4-P'A',

P et P' étant des fonctions rationnelles et entières dont les coefficients se déduisent de ceux de A et A' par des opérations rationnelles.

L'équation (22 ) reste exacte, lorsqu'on remplace P par P — QA et P' par P'-j-QA, Q étant une fonction entière quelconque de X. Si l'on appelle n et n' les degrés de A et A', on peut déter-

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miner (§ 3) la fonction Q, de telle sorte que le degré de P — QA' ne soit pas supérieur k n' — i ; comme, d'autre part, dans Téqualion (22), les termes du plus haut degré en œ doivent se détruire, il en résulte que le degré de P'-t-QA ne peut être supérieur à n — 2.

Dans la formule (22) A^^^ est une constante. Un cas particulièrement important est celui où A^^^ est différent de o, c'est-à-dire où A et A' n'ont pas de diviseur commun. Si l'on pose alors

P = A(v)F(a?), Q = Aiv)<ï>(:r),

et si l'on supprime le facteur commun A^^^, on peut énoncer la proposition suivante :

I. Soient /{x) et o(x) deux fonctions entières sans diviseur commun, de degrés respectifs n et m ; on peut déterminer deux autres fonctions entières ^{x) et ^(^), de degré au plus égal

à m — i et n — i , qui vérifient l'identité

( xZ) F{x)f(x) 4- ^(x) <p(ar) = 1.

Ce théorème peut se généraliser de la manière suivante. Multiplions les deux membres de (23) par une fonction entière quelconque y^{x)] il vient

(24) F(^)x^^)/(^)-^*(^)7.(-'^)?(^)^>C(^)'' d'après le § 3, on peut mettre ^{^)x{^) sous la forme

(25) ^(x) yjx) = q{x)f(x) -4- ^(x),

Q(^) et ^(x) étant des fonctions rationnelles de jt, et le degré de ^{x) étant inférieur à celui def{x). Portons cette valeur dans la formule (24), désignons F(^)x(^) + Q(j^)?(^) par F(x); il vient finalement

F(x)f{x) -+- cp(^) ^{x)^xi^).

Cette égalité donne lieu à l'énoncé suivant :

II. Soient f{x)^ ^(^)i X('^) ^^^ fonctions rationnelles données de x^f{x) et ^(x) n'admettant pas de diviseur commun; on peut alors déterminer deux fonctions entières F(x) et cp(x),