CHAPITRE VII, — BSaLITË DES RICIHES. SgS
cine double , et deux racines réelles, différentes de la racine double.
Les points de la parabole double correspondent aux équations ayant deux racines doubles; ces racines sont réelles pour les points
situés sur la partie qui sépare [o] et [4], imaginaires sur la partie isolée.
Les points des arêtes de rebroussement représentent des équations ayant trois racines égales ; enfin, à l'origine des coordonnées correspond le cas de quatre racines égales.
C'est Kronecker, le premier, qui a attiré l'attention sur la surface discriminante et sur son importance pour la discussion de l'équation du quatrième degré. Un modèle de la surface a été construit par Kerscbensteiner (').
La forme analytique de la condition de réalité des racintspeut se mettre sous une forme telle, qu'elle ne renferme que les covariants de la forme du quatrième degré ('),
Prenons pour point de départ les expressions des fonctions ^,, 'l'ir 'l's données paries formules (6) du §72. Si nous y permutons
(') KnonscfiEn, Atonatiberickle de l' Académie de Berlin, i4 février 187S. Une description du modèle se trouve dans te Catalogue des modèles mathématiquiet, édité par W. Dycli; Munich, 18g]. La liguru 5 e^t empruntée i ce Catalogue.
{') Clrdsch, Théorie des formet binaires, § *7.
Fâ4 di Bitu^o, Théorie des formes Ai/iaiVei, traduit en allemaad parWalter: Leipzig, iSSi; avec une additiou considérable de Nœther.
a avec p, elles se changenl respectivement en «i,, — '^3, — rj^^ ; si nous permutons simultanément a avec ,3, et y avec 3, elles se changent en <J^| , — <!/2, — A3. On en conclut ce qui suit :
Donnons à x une valeur arbitraire réelle; si les quatre racines sont réelles, il en est de même de ij^^ Aj, A3.
Si a et ,3 sont imaginaires conjuguées, y et 5 réelles, la permutation de a et de ^ revient à changer ien — i. Donc^'i est réel, ^2 et — ^3 sont imaginaires conjuguées.
Si enfin a et p, y et 0 sont des couples de racines conjuguées, il suffit de changer i en — /, pour permuter a avec ^ et y avec o-, y, est donc réel, ^0 et '^s sont purement imaginaires.
Si donc les quatre racines sont réelles, ^j, ^î|, ^J sont réels et positifs.
Si deux racines seulement sont réelles, A^ est réel et positif; Aj et A^ sont imaginaires conjugués.
Si les quatre racines sont imaginaires, i^\ est positif; mais Ai; et ^3 sont réels et négatifs.
Nous avons établi [§ 72, (7)] Féquation du troisième degré admettant pour racines ^^, Ai|, ^J^^, et nous avons aussi formé son discriminant. Dans le paragraphe précédent, nous avons établi un critérium qui permet de reconnaître le nombre des racines positives d'une telle équation; d'où le résultat suivant :
Si D < o, Téquation du quatrième degré a deux racines réelles et deux racines imaginaires ;
Si D > o, il faut, pour l'existence de quatre racines réelles, que
la suite
présente trois variations, ce qui donne
n<o, IP— i6A/i >o.
Pour les trois autres combinaisons de signes possibles, les quatre racines sont imaginaires. Dans ces expressions, on peut donner à X une valeur arbitraire.
