CHAPITRE VU. — RÉALITÉ DES RACINES. 2gb

§ 85. — Le bezoutiant et sa signifLcation au point de Tue

de la réalité des racines.

Pour examiner, dans le cas général, la réalité des racines d'une équation quelconque, on peut utilement se servir de la fonction que nous avons étudiée au § 79, sous le nom de bezoutiant.

Soit

une équation réelle du degré n ; son bezoutiant a été déGni de la manière suivante.

Posons

(2) y = t„-i/o{x ) -+- tn^i/i{x)-^...-h tofn-i{x),

les quantités tg^ t^j . . . , /„i étant des indéterminées, et les quanlités^i étant définies par les équations

/o(ar)=i, f\{x) = x-{- au /^{x) = x^ '\- a^x -^ ai,

Onaalors[§79, (lo)]

(3) S(72)=IrS(j.)]* + B,

B étant une forme quadratique des n — i variables to, ti, ..., ^,2î dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des coefficients ai. Cette fonction B est le bezoutiant -, nous Pavons effectivement calculé pour ^ = 4 et /? := 5. Le premier membre de (3) est

les quantités j^i,j'2i • • •? J^w sont des fonctions linéaires des variables ^05 ^1» • • «1 ^/î-i ; la formule (3) indique donc une transformation de la forme quadratique

(5) ^[S(7)p^-B = cï>(/o,/l,...,^.-l)

en une somme de n carrés.

296 LIYRB II. — LES RACmES.

Nous ne ferons pour le moment aucune hypothèse restrictive sur l'égalité ou la diversité des racines de f(x), et nous nous proposons d'abord de reconnaître jusqu'à quel point les fonctions j^4, ^2? *'"iyn sont indépendantes. Nous démontrerons à ce sujet le théorème suivant :

Si Xi y X2y "*, û^y sont des racines distinctes de V équation (1), tes fonctions ^« , jK2î • • • -» J^v sont linéairement indépendantes .

En effet, supposons que yi,jK2) • • -î^v vériGent une relation linéaire identiquement nulle quant aux t, de la forme

les coefficients a étant indépendants des variables t, et non tous nuls. Cette relation se décomposerait en

«i/o (a?i)H-aj/o (a:,)-|-...-hav/o (Xy) = o, «i/i (a?i)-+-aj/i (a:î)-H...-f-av/i (xy) = o.

ai//i-i(^i)-Ha,/„i(ar,) -f-. . .-h av/ix-i(a:v) = o.

V étant inférieur ou, au plus, égal à n, le déterminant des v premières de ces équations devra être nul, ce qui donne

ou bien

I Xi-\- ai x\-^ aiXi-\- a^ ...

I a7jH-ai x\-)r axXi-\- a^ ...

I Xy^-^- ai a:J -h aiaTy-H Oj ...

En appliquant à ce déterminant plusieurs fois le théorème de l'addition des colonnes (§25, VII), on peut le mettre sous la forme

Xi x\ Xi x\

1 X^f Xyf

xV'

( iFj — rrj) ( x, — 073 ) . . . ( a?! — j-v ) (2:2—373). ..(tj — arv)