CHAPITRE Vif. — RÉALITÉ DES RACINES
il ne peut donc être nul, si les racines ^i, x^y • . . ? ^v sont difTérentes.
Si, par conséquent, nous réunissons dans la somme (4) tous les termes égaux entre eux, cette somme contient autant de carrés de fonctions linéaires indépendantes que V équation (i) a de racines distinctes.
Xi étant une racine réelle de (i), y\ est un carré positif dans la somme (4) ; si, au contraire, x^ et x^ sont deux racines imaginaires conjuguées, j^i et ^2 sont aussi des quantités imaginaires
conjuguées,
^1 = w + vi^ ^î = w — ^ii
u ei V étant des fonctions réelles et linéaires des variables /. Il vient donc
La formule (4) permet donc de décomposer la fonction (5) en une somme de carrés dont le nombre est égal au nombre des racines distinctes de Téquation f{x) = 0; il y a autant de carrés négatifs qu'il y a de couples distincts de racines imaginaires conjuguées.
D'après la loi d'inertie des formes quadratiques (§ 64), ces nombres ne changent pas, quand on fait dans la forme une substitution linéaire réelle. Or, S (y) est une fonction linéaire réelle des variables t] B ne contient plus la variable tns] la formule (5) permet alors d'énoncer le théorème suivant :
I. Le bezoutiant B étant transformé, à Vaide d^une trans-formation linéaire réelle, en iz carrés positifs et v carrés négatifs^ qui ne peuvent être réduits à un nombre moindre, le nombre des racines distinctes de V équation f{x) = o est 7: l V + I ; le nombre des couples de racines imaginaires conjuguées est V ; celui des racines réelles est tz — v -h i .
Si le déterminant de B, et, par suite aussi (§ 79), le discriminant de f{x) est différent de zéro, on a 7: 4- v = /i — i , et v est
inférieur ou au plus égal à —
Le bezoutiant est donc une forme quadratique d'une nature
particulière, en ce sens que, parmi les carrés dont elle se compose, il j en a au plus - qui sont négatifs.
§ 86. — Inertie des formes quadratiques.
Le théorème du paragraphe précédent nous a conduit à la considération d'une fonction homogène du second degré à coefficients réels. Au § 64, nous avons établi à son sujet un théorème appelé loi d'inertie, qui est la base des considérations qui suivent. Ce théorème est le suivant :
De quelque manière quon décompose une forme quadratique en une somme de carrés de fonctions linéaires indépendanteSy ce qui est possible d'une infinité de manières^ le nombre des carrés positifs et celui des carrés négatifs est toujours le même.
Soient TT le nombre des carrés positifs, v celui des carrés négatifs ; la somme tt 4- v est inférieure ou au plus égale à m. Soit p la différence m — Tz — V, en considérant la forme générale à m variables comme une somme de m carrés, on pourra dire que p est le nombre des carrés à coefficients nuls. Les trois nombres 7î,v, p, dont aucun n'est négatif, et qui vérifient la relation
sont donc invariables pour une forme donnée. Nous les appellerons les nombres caractéristiques de la forme quadratique (' ).
Nous nous proposons de déterminer les nombres tt, v, p à l'aide des coefficients de la forme quadratique. En appliquant le procédé trouvé au bezoutiant, nous pourrons déterminer le nombre des racines réelles d'une équation à l'aide de ses coefficients.
Soit, comme au § 62,
(2) «pC^-ijarj, ...,x,;i) = \ aJx/jTA, avec a^' = a^^,
(') M. FiiOBENius appelle ir -t- v le ranff et ic — v \n signature de la forme quadratique donnée (Sur la loi ri inertie des /ormes quadratiques, Sitzungsberichte de r Académie de Berlin, 1894).
CHAPITRB YII. — RÉALITÉ DES RACINES.
une forme quadratique à m variables et à coefficients réels. Lorsque le déterminant
est nul, on peut, à l'aide d'une substitution linéaire, transformer la forme cp en une fonction de moins de m variables; il en résulte que p est positif.
Le déterminant R est symétrique. Parmi ses déterminants mineurs des divers ordres, il s'en trouve qui sont aussi symétriques, savoir ceux que l'on obtient en supprimant des lignes et des colonnes qui se coupent sur la diagonale principale. Si donc a, ^, y, ... désignent quelques-uns des indices 1, 2, ..., m, on pourra les représenter par
Nous les appellerons les mineurs principaux de R. Cherchons leur nombre.
Le nombre des mineurs principaux, de degré [x est égal au nombre des manières dont on peut choisir [jl nombres parmi les indices i, 2, . . ., m, par suite au nombre des combinaisons de m éléments jx à jx, nombre qui est égal au coefficient binomial CJ;. En comptant le déterminant R, ainsi que l'unité, considérée comme un déterminant de degré zéro, le nombre des mineurs
principaux est
Mais, la plupart du temps, on n'a à considérer réellement qu'un petit nombre de ces mineurs.
Les indices i, 2, 3, . . ., m peuvent se ranger d'un nombre de manières égal à U(m) = i .2.3 ... m.
Considérons le déterminant
3oo
correspondant à une de ces permutations; on en peut déduire une série de mineurs principaux, comme le montrent les traits pointillés; chacun d'eux se déduit du suivant, en supprimant dans ce dernier la dernière ligne et la dernière colonne. On trouve ainsi
Ro = I, R| = a
Rf
a\al
(«îr^
Rs =
Rm = R.
Un tel système, dans lequel les indices de la lettre R sont rangés par ordre de grandeur décroissante
**mj "m— 1»
R|, Ro
s'appellera une chaîne de mineurs principaux , On en peut former n(m), qui sont diflFérentes; leurs premier et dernier termes sont toujours R et i.
§ 87. — Formes quadratiques à discriminant nul.
Lorsque le discriminant R [§ 86, (3)] est nul, la forme quadratique <p(j^«, x^y . .., Xjn) s'exprime, comme nous l'avons déjà vu au § 62, à l'aide de moins de m fonctions linéaires indépendantes. Soit m — p le plus petit nombre de ces fonctions; p a la même signification qu'au paragraphe précédent.
Supposons que, parmi les mineurs principaux de R, il s'en trouve un de degré A:, qui ne soit point nul, par exemple
faisons
a?jt-»-i = o,
a^Ar-H2 = O,
La forme quadratique
«p(a7i, a?j, .. ., Xkt o, . . ., o)
contient k variables x^ , .r,, . . . , ^^î son discriminant n'est point nul ; elle ne peut donc s'exprimer par moins de k variables. AJortiori, si les variables Xx, X2t . . ., Xm sont arbitraires, la fonction (p
