CHAPITRE Vil. — RÉALITÉ DES RACINES. 3oi

De peut dépendre de moins de k variables, et, par suite,

Supposons maintenant que la forme ^{x^, X2, • . • , ^m) puisse s'exprimer à l'aide de k formes linéaires indépendantes

Les fonctions ^i , ^^2, • . ., ^a devant être indépendantes, il faut qu'il j ait au moins un déterminant non nul parmi les déterminants de degré k qu'on peut déduire de la matrice

Pi H ••• w ••• ?;«.

Pi Pi ••• Pa ••• r/n'

Si, en effet, ils étaient tous nuls, on pourrait déterminer des valeurs non toutes nulles des quantités A|, ^2? •••; ^a à l'aide du système

d'équations

/tipj-hA,pJ-t-...-i- AaP*=o (5 = 1,2, ...,/n);

par conséquent, les fonctions 5|, ^2, ..., Zk vérifieraient une relation identique de la forme

/li ^i 4- Aj 2j -f- . . . H- hjiiZk = o

et, par suite, ne seraient pas indépendantes.

Sans restreindre la généralité du raisonnement, on peut supposer que le déterminant non nul est celui formé avec les k premières colonnes de la matrice

s±P|Pl---P^

on peut alors résoudre les équations (2) par rapport k Xt^x^, . . ., Xk' Les valeurs des inconnues prennent la forme

a?i = ^1 4- a^^j Xk+i -+- -^^jn^mj

^î = 7ï+ «A-4-1 ^^-^ï "^ + aj,^//»,

a?A=7A-+- aJ^ja?A-4-|4- -+-oim^m,

les quanlilés y s étant des fonctions linéaires et homogènes des quantités ^j, définies par les équations

5A= PÎjKi H- pjr2 -i-. . .H- pj^r*;

les quantités a sont de nouveaux coefficients, qui se déduisent des coefficients p, et dont la lof de formation n'importe pas ici.

Par hypothèse, la forme <p(j:i • .^2? • • • ? ^nt) peut être amenée à ne contenir que les variables ^i , ^o, «..,.3)^61, par suite seulement, ^M Va» • • • î ^A- Désignons la nouvelle expression ainsi obtenue par ^(j^,J^2, •••îJ'a)J nous trouvons, en nous servant des formules (3), l'identité

si nous }' faisons

il vient

(5) *(a:i, a72, . . ., iTA-) = <p(a7i, a^j, .... a:^, 0,0, . . ., o).

^ est par là entièrement déterminée; on pourra donc poser

0 se déduit donc de co en donnant aux m — A* dernières variables (d'après Tordre adopté) la valeur o :

(7) 4>(ari,a:2, ..., J'a) = Zu ^r^r^s-

Le discriminant de ^ est le mineur principal de R, obtenu en supprimant dans R les m — k dernières lignes et colonnes.

Supposons que <p ne puisse s'exprimer avec moins de k variables; on aura A* = m — p, et le discriminant de 4> ne pourra être nul.

On conclut de ce qui précède le théorème suivant ;

II. Lorsque tous les mineurs principaux de R, de degré supérieur à A", sont nuls, et que parmi les mineurs principaux