CHAPITRE VII. — RÉALITÉ DES RACINES. 3o

de degré k il y en a au moins un qui n"^ est pas nul, on a

En effet, de la formule (7) on conclut que, si m — A == p, il y a au moins un mineur principal de degré k qui n'est point nul; d'autre part, d'après (i), si un mineur principal de degré supérieur à k est différent de zéro, on a

Si donc on désigne par u, v, p les nombres caractéristiques de la forme <p, les nombres tc et v sont les nombres des carrés positifs et négatifs en lesquels on peut décomposer la forme 4> définie, par l'équation (7). Il suffira donc de déterminer les nombres 7: et V pour cette dernière forme, dont le discriminant n'est point nul.

§ 88. — Formes quadratiques à discriminant non nul.

Dans nos recherches sur les formes (p(X|, 2:2, ...,:C7n), dont le discriminant est différent de zéro, nous ferons usage d'un théorème sur les déterminants que nous avons démontré au § 31, et que nous allons rappeler.

Soit A un déterminant à m lignes et colonnes ; Af , A{'*' ses mineurs du premier et du second ordre (de degrés m — î et m — 2), on a

(1) A{AJ-A{Ai = AA|;î.

Si A est un déterminant symétrique non nul, on a

et la formule (i) peut s'écrire

(1) AiAJ-(AO' = AAi:}:

dans cette formule, i peut prendre l'une quelconque des valeurs 2,3,.. ., m. Lorsque A] et A]'J. sont nuls tous deux, il en résulte aussi A^ =0; nous en conclurons que

3o4 LIVRE II. — LES RACINES.

ne peuvent être nuls à la fois, sans quoi il en serait de même de

et par suite aussi de A (§ 25).

Appliquons ces résultats au discriminant R = R^ de notre forme ç, lequel n'est point nul par hypothèse; il en résulte que le premier mineur principal Rm« peut à la vérité être nul, mais qu'il ne peut en être de même de tous les mineurs principaux Rm 2) du second ordre. La même conclusion subsiste lorsqu'on remplace R par un déterminant non nul, tel que Rm-i? Rm-a? • • •» et nous arrivons à cette proposition si importante :

111. Lorsque le discriminant R est différent de zéro, on peut ranger les indices i , 2, . . . , m dans un ordre tel, que dans la chaîne de mineurs principaux

(3) R/rt, Rw— 1> Rm-îj •••♦ Ri» Ro deux termes consécutifs ne soient pas nuls à la fois.

Si, dans la formule (a), on pose A = R;t^i (A' = i, 2, ...,m — i), on trouve une relation entre trois termes consécutifs de la chaîne (3), relation qu'on peut écrire

(4) RA-S/,-(TA)« = RA-iRA-f-i;

Ra, Sa et Ta sont certains mineurs de R, c'est-à-dire des fonctions rationnelles et entières des coefficients a\. D'une façon plus précise, les quantités Ra, Sa et Ta sont des mineurs du premier ordre de Ra+i ; on aura

Ra=— ^, Sa=--^S Ta

àa%X\ ùa% dal

Supposons les indices rangés dans un ordre tel que le théorème III soit vérifié. Il résulte alors de (4) que, Ra devenant nul, Ra i et Ra+i sont différents de zéro et de signes contraires. Donc :

IV. Lorsque, dans une chaîne de mineurs principaux, un terme intérieur est nul, les termes qui le comprennent sont de signes contraires.