CHAPITRE VII. — RÉALITÉ DES RACINES
§ 89. — Nombre des carrés positifs et négatifs.
Pour déterminer le nombre des carrés positifs et négatifs d'unes forme à discriminant différent de zéro, nous supposerons en premier lieu que, dans la chaîne des mineurs principaux
il n'y ait aucun terme nul. Nous pouvons alors déterminer un nombre X tel que le discriminant de la forme
^ = ?(^l,^2, . ..,a^/«) — ^-^Jt
soit.nul. Ce discriminant est, en effet,
ai a
il est nul, si Ton fait
tn
I^a fonction ^ peut alors s'exprimer à Taidc de /?^ — i variables seulement, et, d'après la formule (6) du § 87, on a
6(j:,,Xj, ...,T;«) = 'i/(7i,^2' .,., y,n-uO)
OU, d'après (i).
(}.) cp(jr,,a:-„ ...,x,n)^ t.— arj.-f- o(/,, j^j, . . . , J,„i, o).
On est donc ramené du cas de la fonction cp à m variables à celui de la fonction
km — i variables; son discriminant est R,w i ; il est donc diffé-
R rent de zéro. Selon que le quotient "^ est positif ou négatif, la
fonction aura un carré positif ou négatif de plus que la fonction
3o6 LIVRE II. — LES RACINKS.
En appliquant le même procédé à 'f i(j>') et aux fonctions suivantes, on trouve cette proposition :
Le nombre des termes positifs et négatifs de la suite
est égal au nombre des carrés positifs et négatifs, en lesquels on peut décomposer la fonction 'f (j").
Avant d'énoncer ce théorème sous une autre forme, donnons les définitions suivantes :
Considérons une suite de nombres réels, différents de zéro, dans un ordre déterminé, et de signes quelconques; nous dirons que deux nombres consécutifs de même signe forment une permanence; deux nombres de signes contraires, une variation.
Envisageons, sous ce point de vue^ la suite des nombres
le passage de R^t à Ra i donne lieu à une permanence ou à une variation, selon que le quotient de R;^ par R*4 est positif ou négatif. On peut donc énoncer le théorème suivant :
V. Soit TT le nombre des carrés positifs y v le nombre des carrés négatifs de la fonction ç; tz est égal au nombre des permanences, v au nombre des variations de la suite
(/i) R/,i, R/n-i, ■-., Ri, Ro-
La forme donnée à celte proposition présente l'avantage dv s'appliquer encore au cas où, dans la chaîne (4), certains termes intérieurs deviennent nuls, sans que deux termes consécutifs le soient. On peut toujours faire cette hypothèse, d'après le théorème III du § 88. Si, en efl'et, R^ est nul et que Ra i et R^+i soienl différents de zéro, on sait que ces quantités sont de signes contraires. Il y aura donc toujours dans la suite
Ra-1. Râ, Râmi
une permanence et une variation, que Ton remplace Ra par un nombre positif ou un nombre négatif.
