CHAPITRE VU. — RÉALITÉ DES RACINES. Soj

Si donc on remplace la chaîne (4)

R/«^ Ï»/M— 1» •••1 "!> Ro»

dans laquelle certains termes sont nuls, par une autre

dans laquelle aucun terme n'est nul^ et dans laquelle les termes qui correspondent aux termes non nuls de la précédente ont le même signe que ces termes, les deux suites {/\)ei (5) ont le même nombre de variations, quels que soient les signes des quantités R' qui remplacent les termes nuls de la suite (4).

Soit maintenant ^{^) une autre forme quadratique quelconque des variables JT/; considérons la forme

(G) o' = <p -i- eij^,

e étant une indéterminée. Nous allons montrer qu'on peut choisir le coefficient e de telle sorte que <j)' et © aient le même nombre de carrés positifs et négatifs, que dans la chaîne des mineurs principaux R)^ de la forme ©' il n'y ait aucun terme nul, enfin que les termes R]^ de cette suite, correspondant aux mineurs R^t différents de zéro, ont les mêmes signes que ces derniers. Nous pourrons alors calculer les nombres tî et v pour les formes cp et ©' à l'aide de l'une quelconque des suites (4) ou (5) ; le nombre des variations, qui est le même pour les deux suites, indiquera le nombre des carrés négatifs.

Pour faire cette démonstration, supposons que ç ait été transformée d'une façon quelconque en une somme de carrés

exprimons A en fonction des variables^/, de telle sorte que

Les nombres t: et v, correspondant à la fonction o\ se déterminent alors à Taide de la chaîne des mineurs principaux du déterminant

3o8 LIVRE II. — LES RACINES.

On peut choisir s assez petit, pour que ces mineurs principaux aient respectivement mêmes signes que les produits

Al A] . . . A//I, Al Aj . . . A /;(!, • • «î Al, I ;

le nombre des carrés positifs et négatifs de es' esl alors égal au nombre des termes positifs et négatifs parmi les coefficients A, dont aucun n^est nul; en un mot, les nombres n et v sont les mêmes pour les formes ^ et o'.

Soient b^ les coefficients de la forme ^, exprimée à l'aide des premières variables ^i,

Ri -

c'est, par suite, une fonction rationnelle et entière par rapport as, du degré /r,

les coefficients M^, M2, ..., M^ sont fonctions rationnelles des coefficients ù^; en particulier, on a

on peut donc toujours choisir les coefficients b^ de telle sorte que M;t ne soit point nul. D'après ce qui a élé dit au § 34, on peut toujours choisir e de telle sorte que, si Ra n'est pas nul, H/^ et R'^ soient de même signe et que, si Ra est nul, R'y^ ne le soit pas.

En rapprochant les propriétés que nous venons de démontrer des résultats du § 87, nous pouvons énoncer la règle générale suivante, pour la détermination du nombre des carrés négatifs, applicable même lorsque le discriminant est nul :

VI. Pour déterminer les nombres caractéristiques ir, v, 0 de la forme 'f (^), rangeons les variables X\^ x.i^ . • ., Xm dans un ordre tel que, dans la chaîne des mineurs principaux

(10) R/«, Rm-iî ..., Ri, Ro>