CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES

cette dernière étant de degré inférieur à/(x), de telle sorte que l'on ait identiquement

§ 7. — Produits de facteurs linéaires.

On a vu, au § 1, qu'un produit de fonctions entières est une fonction de même espèce, mais de degré supérieur; le degré du produit est égal à la somme des degrés des facteurs.

Le produit de n facteurs linéaires est donc une fonction du /i**"** degré, dont nous allons étudier avec détail la loi de formation.

Nous prendrons les facteurs linéaires sous la forme simple jr -:- a, , ^ — a2, • . . , .r — a„ ; le coefficient de la plus haute puissance de X dans le produit sera égal à i, et l'on pourra poser

( /(^) = (x — :Li) (x — cti). . .(X — an)

On reconnaît facilement que les coefficients se forment par la loi suivante : — «< est égal à la somme des quantités a; ^2 est égal à la somme de leurs produits 2 à 2 ; — as à la somme de leurs produits 3 à 3: en général ( — i^a^ est égal à la somme des produits v à V de ces mêmes quantité3. Ces résultats s'expriment par les

équations

-f- aj = l,aLiafy

(— i)^av= Saïaj. . .av,

(--i)«a„= aiaj. ..a„.

Pour démontrer en toute rigueur ces formules, on complète l'induction qu'on vient de faire de la manière suivante :

On vérifie d'abord l'exactitude des formules dans les premiers cas en faisant réellement la multiplication. On a ainsi

(x — ai) (a: — «i ) = x^— (ai4- a2)a7 -4- aiaj, (a:— ai)(ar— aj)(ir — as) = ar^— («i-f- aj-t- as)^?*

-+• (a|fitj H- ajŒi -f- oLiOL^^x — ce ) 0(223.

Supposons maintenant la loi de formation vraie pour un produit de n — I facteurs, et posons

(x — Œi) (a? — a,). . .{x — a„i) = a?'*-' -+- a\ a?"-» -h a;a:«-3-+-. . .-4- a'„«i . Multiplions les deux membres par x — 7.^] il vient

= ûf, — a

av = Ov — a» «V— 1 ,

On en déduit immédiatement l'exactitude des formules (a).

Il importe de déterminer le nombre des termes qui figurent dans chacune des sommes (2). Désignons par C)'^ le nombre des termes qui figurent dans la somme ( — i)^^^5 c'est le nombre des combinaisons sans répétition de n éléments v à v. Pour le déterminer, supposons d'abord formé les C)*"* combinaisons des n éléments V — 1 à V — I . De chacune de ces dernières combinaisons, on peut déduire n — v + i combinaisons v à v, en lui ajoutant un des n — v4- I éléments qui n'y figurent pas. Mais, de cette manière, chaque combinaison v à v est formée v fois, en ajoutant chacun de ses V éléments à la combinaison v — i à v — 1 obtenue en y supprimant cet élément. On peut donc écrire la relation

d'ailleurs C^ a évidemment la valeur n. Multiplions donc membre à membre les équations

il vient

Gv pvn — ^n