CHAPITRE Vin. — LE THÉORÈME DE STURM

(|ue, La étant nul, L^.i et L^^.! sont de signes contraires, et par suite la condition 111 est vérifiée.

Reste la condition IV. Appliquons la formule (i ) au cas de /{ =z n — I ; elle devient

il en résulte que, si L« est nul, les expressions

sont de même signe; de même tous les mineurs principaux de L«,

Oa\

sont de même signe. Mais la dérivée de L« (i^oir § 23) a pour valeur

àLn

donc, pour toute valeur de x qui annule L„, elle est de signe contraire à L/,,. La condition IV est donc satisfaite. De là ce théorème :

L Soient a et p (a <C P) deux nombres réels; le nombre des racines réelles de L,t(x)^ comprises entre a et ^ est égal à la différence entre tes nombres des variations que présente la suite (3) quand on y fait successivement x=i % et x = i^.

Nous avons déjà remarqué que le terme de degré le plus élevé dans La(j?) esl ( — i)*j:^; pour des valeurs de x suffisamment grandes, ce terme donnera son signe à h/({x). Si donc, comme on dit, on fait a= — oo et j3 = -f- oo, la suite (3) ne présentera dans le premier cas que des variations, dans le second cas que des permanences; d'où ce théorème :

IL L'équation L„(j:) = o a toutes ses racines réelles.

Mais ces propositions ne sont pas générales tant que nous ne serons pas affranchis de Phypothèse faite que, dans la suite (3),

deux termes conséciilirs ne s^annulent pas pour la même valeur de X. Les simples coosidëralions qui suivent vont nous permettre de le faire.

Admettons qu'une valeur de x annule L*, mais non Ljt, \ nous pouvons alors choisir les coefficients a\^^ qui ne figurent pas dans L^, de telle sorte que La^< ne s'annule pas pour celte valeur de^; en efiet, L;t+i ne peut être identiquement nul, puisqu'il contient le terme

Si donCy dans la suite,

un certain nombre de termes consécutifs s'annulent pour la même valeur de x, on pourra en déduire, par une altération des coefficients o\ une nouvelle suite

dans laquelle deux termes consécutifs ne s'annuleront certainement pas pour la même valeur de x^ appartenant à l'intervalle a, j3.

Il est d'ailleurs possible de choisir les coefficients d^ dont dé- ])endent les grandeurs L de manière qu'//^ diffèrent des coefficients correspondants aj de moins d'une quantité arbitraire oj.

Si donc les nombres a et p sont choisis de telle manière qu'aucun terme de la suite (5) ne s'annule pour j: = a ou ^ = p, on peut prendre (o suffisamment petit, pour que les termes de même raug des suites (5) et (6) soient de même siçne. Notre théorème détermine d'ailleurs, à Taide de la suite (6), le nombre des racines de l'équation L^|=^ o, comprises entre a et |3.

D'autre part, par un choix convenable de co, on peut faire en sorte que les racines de L^^r^o diffèrent d'aussi peu que l'on \oudra de celles de hn=^ o (§ 44). A la vérité, L„= o peut admettre une racine double à laquelle correspondent deux racines simples de L',, =^ o ; mais, comme cotte dernière n'a pas de racines imaginaires, ces deux racines simples sont réelles; on raisonne de même si L„= o a une racine multiple d'ordre/?.

// résulte de là que les théorèmes I et II restent vrais, même quand on ne fait plus r hypothèse que deux fonctions consé-