CHAPITRE VIII. — LE THÊORfeMB DE STURM
cutives de la suite (5) ne s^ annulent pas pour une même valeur de X ; seulement chaque racine multiple devra être comptée as^^ec son degré de multiplicité.
On peut déduire de là une relation remarquable enlre l'équation séculaire et la loi d'inertie des formes quadratiques, relation employée en Géométrie à propos de la détermination des axes des quadriques.
Considérons simultanément avec la fonction L,i(x) la forme quadratique
£ étant quelconque, L„(e) est le discriminant de la forme
Supposons que l'équation L„(j:) ait P racines positives, N racines négatives et R racines nulles; nous supposerons, de plus, £ positif, mais assez petit pour que toutes les racines positives de L soient plus grandes que a, et qu'aucun terme de la suite (3) ne s^annule pour x = e. La suite
(y) L«(£), L«i(e), ..., Li(£), 1,
est alors une chaîne de mineurs principaux pour la fonction o'; en désignant par 77', v', o les nombres caractéristiques de »', ir' esl égal au nombre des permanences et v' au nombre des variations de la suite (9) (§ 89, V).
Appliquons maintenant le théorème I, en faisant a = e, el prenant pour P un nombre supérieur à toutes les racines de L„(:r) = 0; la suile (3) ne présentera pour x = (3 que des permanences; il en résulte que le nombre P des racines positives de L,i(j:) = o est égal au nombre des variations que présente la suite (3) pour a: :^ e, nombre égal au nombre des permanences de (9). Comme, d'autre part, on a
il en résulte
Supposons maintenant les fonctions '^ et ç' décomposées en
336 UTmi II. — LES EICIXES.
leurs carrés positifs el négatifs de la manière suivante :
III, « -,s yt vl — -* — -' -»
Si ^ -T- '/ est inférieur à /i, on peut choisir pour x,, Xj. .., -r„ des valeurs qui ne soient pas toutes nulles, telles que l'on ait
Y\ = O» ^i — o. y^ ~ O, Z| = o, Zj -- c>. ... Zv' — o.
Mais alors l'une des représentations i\i) de s' donne une valeur négative, la seconde une valeur positive ou nulle; par suite, Tlivpoth<''se7:-î- v'< n n'est pas permise. On a donc
T. — V /l = ÎT — V
par suite, d'aprrs (lo »,
D'autre part, on a [§ 86, (12)]
» ^ *• • ces inégalités ne sont compatibles que si
D'une façon analogue, en se servant d'une valeur négative de c, on prouve que v ^^ \ cl p =:r: R. Ces résultats peuvent s'énoncer comme suit :
III. Les nombres caractéristiques 7:, v, p de la forme o sont rfraux aux nombres des racines positives ^ négatives ou nulles de V équation séculaire correspondante.
§ 9.*>. — Les fonctions de Sturm.
Arrivons maintenant au procédé qui permet de former, dans tous les cas, une suite de Sturm pour une équation donnée (*).
( ' ) Sturm, Mémoire sur la résolution des équations numériques. — Mémoires de l'Académie de Paris {Sav. étr., l. VI; i8.i')).— Bulletin de Férussac, l. \l;
.8:uj.
