CHAPITRE VIII. — LE THÉORËME DE STURM
En principe, la formation de ces fondions est extrêmement simple, mais, la plupart du temps, elle est d^une application très laborieuse au point de vue pratique.
Nous nous bornerons au cas où Téquation proposée n^a pas de racines multiples; on suppose donc qu'on a divisé f{x) et f'{x) par leur plus grand commun diviseur.
On suppose que
la condition IV (§92) est alors certainement satisfaite. On exécute ensuite les opérations de la recherche du plus grand commun diviseur de f {x) ei fi{x)^ en désignant les restes successifs par — f^^ — /j, • . ., — fm' Les divisions successives conduisent alors aux équations
q\^ qi, • • -, qm-\ et de même /<, f^^ . . -, fm sont des fonctions rationnelles entières de x^ de degrés décroissants; on peut donc continuer les opérations de manière à trouver un reste fm qui soit constant, ou qui, du moins, ne s'annule plus dans Tintervalle considéré. L'hjpothèse que y* et /i sont premiers entre eux montre que fm ne peut être nul.
Pour reconnaître que la suite
(^ 3 ' f^ f\l fty '-'j fm
est une suite de Sturm, il suffit de voir si elle vérifie les conditions I-IV du § 92. Si, parmi les fonctions (3), deux consécutives s'annulaient pour la même valeur de j:, toutes les suivantes devraient s'annuler de même, en vertu des équations (2); cela est impossible, puisque fm ne peut être nul.
Si f}f{xo) est nul, il résulte de (2) que
/v-i(aro) =—f^,+l{xo);
donc, toutes les conditions du § 92 sont vérifiées.
Il va de soi qu'on peut multiplier les fonctions (3) par des
facteurs positifs, constants si Ton veut, sans que ces fonctions cessent de former une suite de Sturm.
Dans le cas de /i == 2, on peut prendre comme fonctions de Sturm les suivantes :
/t(T) =ax-t-a,
§ 96. — Solution du problème de Sturm, d'après M. Hermite.
M. Herraite a indiqué une autre solution du problème de Sturm ; elle conduit à des résultats plus simples, au moins en ce qui concerne l'exécution détaillée du calcul, et se rattache à la loi d^inertie des formes quadratiques et à la transformation de Tschirnhausen (* ).
Soit
Téquation proposée, et
ses racines, supposées distinctes.
Prenons les fonctions
(3) /o(^), /i(^), /i(^), •.., fn-\{or), utilisées au § 74, et posons
(4) 7= '«-l/o(^)-i-^/t-î/l(^)-f-...-^'l//i-î(^)-|- tofn-\(^)y
/q, ^m • • m ^/i-i étant des variables indépendantes.
Soient ^«,^^2» • • •, y/1 les valeurs que prend y quand on donne à X les valeurs x^ , X2, • . ., -^n- ^ étant un nombre réel quelconque, posons
C'est là une forme quadratique des n variables t; déterminons
( ' ) Hermite, Remarques sur le théorème de M. Sturm (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XWVI; i853).
CHAPITRB YIII. — LE TIIÉORÈMB DB STL'RM. 829
(l'abord le nombre de ses termes positifs ou négatifs. Si Xt est réel, il en est de même de yi, et, par suite, le carré (jCi — ^)yi est positif ou négatif, suivant que x^ est plus grand ou plus petit que a. Si JC| et ^2 sont deux racines imaginaires conjuguées, j^i et j^2 sont aussi imaginaires conjuguées et la quantité
se décompose en un carré positif et un carré négatif; car, en posant
y\ /^i — a = f^ 4- «V, on aura
yt ^ ^t — a = a — iV.
Le nombre Na des carrés négatifs de la fonction lia est donc égal au nombre des couples de racines imaginaires, augmenté du nombre de racines réelles plus petites que a.
Prenons maintenant un second nombre j3>^ a; formons la fonction Hp et désignons par Np le nombre de ses carrés négatifs; la différence
est égale au nombre des racines réelles, comprises entre a et p. Donc, pour résoudre le problème de Sturm, il suffit de calculer les coefficients de Ha en fonction des coefficients de /(or) et de a, et de chercher ensuite le nombre Na-
§ 97. — Détermination de la forme H de M. Hermite.
Pour déterminer la forme II de M. Hermite, on peut procéder comme on Ta déjà fait au Chapitre Vi. Nous avons établi au }^ 79 la formule
(0 yfs = Eo,,/o-4- E,,,/i-h. . .-f- E„,,,/„,.
En faisant usage des relations
on en conclut
i* :.^:^l:s* E. ^. par
.^•i jt-7 -, i' , ^i
— E, . xE . /. — ..-— £^^^— ïE,:, /,;
^^a f-^ -i i:."7tlre Ii I :n .v. ,ïi E,jS: -> la rccia-f Iirrap? q::^ le> autres fonct::E.* E: od cL:;'=-2î a':rs le 5^5:iê::;«* des formiiles 5aîvanle>
fci— ... — «i'. -a. f,: — E,:, - i|', .— a:/,,--
K,:,— '/,/,. — a./,t-... — <îjf,
iDlr^dui^jos niÂinleDant un s^-codJ système de Tarîables t et en se -en':inl des formules 6 du $ 74, on conclut alor> de • î ■
n — s Of.
^' r— ï v^i = ni, V E s ,— 2E. , t,,,
— n — I 11 > E|., — xEi., "«-f-î
•jb — I
GIIAPITRK YIII. — LE TBÉORÈMB DE STURSf.
ronclion qui se réduit précisément à H, quand on fait t = T. i^*enons, par exemple, le cas de n = 3 ; il vient
fit ti — a*f
El,J = — «3^0,
Eo,o "" ^0^*1
^o'i ~^ ^1 ^Ot
Es,!— «o'î-»- «i^i-H- ûfj/o;
la formule (6) permet alors de calculer aisément les coefficients do la forme II :
Hi,i ~— Sr/o^s— «i«2- "^(«î — «O^i) «,
Ho,0 — — «2«3- (*>«1«3— «s) ^>
Hi,o-— — 2«ia3— (3ao^3— airtj)», Ho, j — -— «0 ( 3 as H- aj a ) .
§ 98. — Le déterminant de la forme de M. Hermite.
Pour indiquer le nombre des carrés négatifs de la forme II, il importe de connaître son déterminant. On peut le calculer dans le cas général, de la manière suivante. Posons
les coefficients H/a dont il faut former le déterminant sont fournis parréquatîon(6) du §97. SoitH/j^le coefficient de //Ta dans cette formule; on a
D'après la règle de la multiplication des déterminanls, on peut écrire le déterminant de ces n^ quantités, sous la forme
(xi— a)/o(x,) (t, — a)/i(a?i) ... (a^i —«)/„, (a:,)
M^\) /l(^l) ..• fn-\(^\)
/o(^n) fli'^u) ... /n~\(^n)
craulre part, on a
ce délerminant peut donc aussi s'écrire
Dans cette formule figure encore le déterminant des quantités fk{xi)] il est égal au produit
ao
Ûto . .
STi
an-i
fio
En appelant D le discriminant de la fonction f{x) (§ 50), le carré de ce produit est égal à aJD; il vient donc
A =(,)/! ao/(a)D.
Par hypothèse, D n'est pas nul; A ne peut être nul que si l'on prend pour a l'une des racines de réquation/(^) = o; nous ne ferons pas cette hypothèse.
Considérons une suite de mineurs principaux de A, en commençant par ceux du degré le moins élevé
Ai(a), A2(a), ..., A,i(a) ^ A;
d'après le théorème V (§ 89), le nombre des variations de la suite
est égal au nombre Na des carrés négatifs de H ; en désignant par Np le nombre analogue pour la suite
le nombre Np — Na est égal au nombre des racines de l'équation f{x) comprises entre a et p.
Pour l'équation du troisième degré, il suffit d'utiliser les formules qui terminent le paragraphe ])réccdent. Nous formons la
suite
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ao, -fn,,,, -i(II,,,H,,,-lIJ,,), -j A:
elle présente évidemment le même nombre de variations que la suite (2); on trouve ainsi les quatre fonctions
«0, -T- 3aoa — «i,
-r- 3ao^i^3-^ ^i ^î — i<^o<^ï»
Prenons comme vérification a=: — oo, ^ = -|-x, et faisons aQ=^ i; les signes de la suite seront respectivement
I, -4-1, aj — 3aî, D,
Il faut observer que, lorsque D est positif, a\ — 3^2 ^^ peut être négatif(§52, 8).
§ 99. — Position du problème d'après M. Hurwitz.
A l'occasion d'une question particulière, sur laquelle nous reviendrons en détail, M. Hurwitz a fait connaître une manière d'envisager le problème de Sturm, qui conduit à des résultats particulièrement simples ( * ).
Soil
une fonction entière, de degré n par rapport à la variable z. Soit en outre ^{z) une autre fonction entière de degré quelconque. Développons le quotient de ^(5) pary*(z) suivant les puissances décroissantes de z (§ 16), et désignons lu partie de ce développement qui contient des puissances négatives de z par
(') Mathematisc/ic Anna/en, l. \I.VI.
Soit, en outre,
une fonction entière, de degré m — i (arbitraire pour l'instant), dont les coefficients /07 ^i» •••<! ^m- 1 sont des variables indépendantes. Formons le développement par rapport aux puissances décroissantes de ;; de la fonction
0,m — \ 0,in — 1
d'après (2), et en utilisant les règles du § 16, on obtient
ou, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de :;,
Soit Oi(v) le reste de la division de 0(5) par/(5); posons
les quantités /J,, (\, . . ., /)^, sont des fonctions linéaires et homogènes des variables ùq, /|, ..., /m-i' D'après le § 16, les deux fractions
donnent les mêmes termes à exposants négatifs, lorsqu'on les développe par rapport aux puissances décroissantes de z] il en résulte que les formes quadraticjues des m variables l
qui se présentent dans le développement (4), peuvent aussi être représentées comme formes quadratiques des n variables t[. En désignant par Tcy^, V)., o). les nombres caractéristiques de ïx, le
