CHAPITRE VIII. — LE THÉORÈME DE STURM
nombre px esl au moins égal km — n. Nous supposerons maintenant m = n; ^(z) est donc une fonction de degré n — i . En particulier, nous considérerons la fonction T©, que nous désignerons par T
(6) T =^Ci^ji.titA;
les nombres caractéristiques de son inertie s'appelleront -, v, p. De tout ce que nous venons de démontrer, il résulte d'abord que :
1. Si les fonctions f(z) et <l>{z) ne sont pas premières entre elles, on a p <C^lT^ n'est pas une forme définie.
Supprimons en effet le plus grand commun diviseur de y et de <p; les fractions (5) se transforment en d'autres fractions de même forme, dans lesquelles la fonction Q est restée la même, tandis que le degré du numérateur s'est abaissé.
En outre, on peut démontrer que :
2. Sif{z) et f^(z) ont un diviseur commun, T n'est pas une forme définie.
Si, en effet, f{z) et f'{z) admettent un diviseur commun, on peut déterminer une fonction Q(5) (du premier ou du second degré), telle que
Q/i (z) est d'un degré inférieur à n, et on peut choisir les coefficients to, ti, .. ., t„i de telle sorte que l'on ait
Mais alors ô^(^) est divisible par /(>3), et la fraction , "^
devient une fonction entière. Si donc on la développe par rapport aux puissances décroissantes de ^, il n'y aura plus d'exposants négatifs; la fonction T se réduit à zéro, et, de même, toutes les fonctions Tx-
Il existe donc des valeurs non nulles des variables ti qui annulent T, ce qui est impossible dans le cas d'une forme défînie.
Supposons que la fonction /(;;) n'ait pas de facteurs multiples;
il est alors facile de décomposer les fonctions Tx en sommes de carrés, lorsqu'on connaît les racines de f{z). La sommation S s'élendant aux différentes racines Xi, x^^ . . ., jr^ ^^/(g), et G(:;) désignant une fonction entière, on a (§ J5)
en développant ^ par rapport aux puissances décroissantes de - (§ 16), il vient
(8) ^ Tx=S— ^.^^^^
Dans les fonctions
le déterminant des coefficients des // est égal au produit dés différences deux à deux des racines; par suite, il est différent de zéro; ces fonctions sont donc linéairement indépendantes, et la formule (8) fait connaître la décomposition de Tx en une somme de n carrés. En posant
il vient, pour X = o,
Les fonctions / et ^ étant supposées à coefficients réels, on peut maintenant déterminer les nombres tt, v, p, caractéristiques de rinertie de la fonction T.
On voit d'abord que yi ne peut disparaître de la somme (ii) que lorsque ^{xi) est nul et réciproquement; Xi est alors une racine commune à/et <I>. Le nombre p est donc égal au degré du plus grand commun diviseur de /et O; il est nul lorsque les fonctions/et <ï> sont premières entre elles.
Soit j:i, X'i un couple déracines imaginaires conjuguées; ^Ç^\) étant différent de zéro, on aura
