CHAPITRE VIII. — LE THÉORflMR DE STURM
et, par suite,
rî-4-j^î = 2(P»-Qî);
ce couple fournit donc une unité pour chacun des nombres r. et V.
Si enfin x est une racine réelle, y^ sera positif ou négatif, suivant que 4>(ar) ei/^x) sont de même signe ou de signes contraires.
On en déduit la règle suivante pour la détermination des nombres caractéristiques de la forme T :
. p est égal au nombre des quantités ^{xi) égales à zéro ;
Tz est égal au nombre des couples imaginaires de racines Xi, qui n'annulent pas ^(x), augmenté du nombre des racines réelles qui donnent à ^{x)f{x) le signe positif;
V est égal au nombre des couples de racines imaginaires qui n^annulent pas ^{x), augmenté du nombre des racines réelles qui rendent ^{x)/'{x) négatif.
Faisons quelques applications de ces résultats. Le cas où T est une forme définie (p = v = o ou p = tc = o) ne peut se présenter que si les fonctions <ï> et / sont premières entre elles, si /(x) n'admet que des racines réelles distinctes, et si enfin le produit ^(x)/'(x) a le même signe pour toutes les racines de /(x), a et p étant deux racines consécutives, /'(a) et f'{^) sont de signes contraires, il en sera donc de même de ^(a) et ^(|3); par suite, a et p comprennent un nombre impair de racines de ^{x) = o.
Ces conditions étant réalisées, il en résulte inversement que T est une forme définie, de même signe que ^{x)f'{x). Donc, pour que T puisse être une forme définie, il faut que le degré de ^ ne soit pas inférieur à n — i. Si son degré n'est pas non plus supérieur k n — I, deux racines consécutives de f{x) comprendront une et une seule racine de<ï>(^); on peut dire aussi que les racines de/(x) sont séparées par les racines de ^(x),
La forme T sera, en particulier, une forme positive si nous supposons de plus que Cq est positif; ce cas se présentera lorsque les coefficients des plus hautes puissances de z dans /(z) et ^(2) seront de même signe. Au paragraphe 89 (VII), nous avons établi
la condition nécessaire et suffisante pour qu'une forme soit posi* W. aa
live; en posant
Co
. . Cy
. Cy-l-l
Cy,
Cv+1
Cjv
on peul énoncer le théorème suivant :
3. Soient J(x)=: o une équation de degré /i, ne possédant que des racines réelles distinctes, et <ï>(^) = o une équation de degré n — i , telles que dans f et 4> les coefficients des plus hautes puissances de x aient le même signe; les conditions nécessaires et suffisantes pour que les racines de /(x) = o soient séparées par celles de <ï>(^) = o sont que les déterminants
Co, Cl, Cj, ..., C/i— 1
soient tous positifs.
En posant ^{z) =z/'(z), on a
ce rapport est donc toujours positif. Les quantités Cq, C|, Cj, . . . deviennent alors (§16) les sommes de puissances semblables 5o, ^i , 52, — Si donc on appelle Dv le déterminant
Si .
Si
Si
et si l'on fait ao= i, on voit que D/,i est le discriminant de /; d'où le théorème suivant :
4. Pour que l'équation f{x) = o, de degré /i, n'admette que des racines réelles et distinctes, il faut et il suffit que Dq, D,, Dj, . . ., D„i soient positifs.
Si Ton pose <P(x):=(x — a)f\x)^ a étant un nombre réel quelconque qui n'est pas racine de/(:r), on aura p = o si /(a:) n'a que des racines simples; tî — v est le nombre des racines supérieures à a, diminué du nombre des racines inférieures à a, et
