CHAPITRE VIII. — LE THÉORÈME DE STURM. SSg

cela quef{x) admette ou n^admette pas de racines imaginaires. La différence it — v diminue chaque fois de deux unités, lorsque a traverse, en croissant, Tune des racines de f{x)\ ce résultat concorde avec ce qui a été dit au § 96.

§ 100. — Principes de la théorie des caractéristiques (0-

Les propositions de Stuçm se généralisent d'une façon remarquable par la Théorie des caractéristiques de Kronecker; elle se propose le même objet que le théorème de Sturm, pour les systèmes d'équations à plusieurs inconnues. Nous nous bornerons ici au cas le plus simple ; il nous servira à la délimitation des racines complexes d'une équation. Nous ferons usage de considérations géométriques et des notations du Calcul différentiel.

Soient cp(^,y) et i({x^y) deux fonctions réelles, x ^l y étant les coordonnées rectangulaires d'un point du plan. Les équations

représentent deux courbes, que nous nommerons par abréviation les courbes '^ et if. Nous supposerons d'abord ces courbes fermées, sans branches infinies; de plus, la région intérieure de o est celle où le polynôme "^ est négatif; de même, la région intérieure de la courbe if est celle où le polynôme if est négatif.

Soit 0 {Jig- 6) l'angle que fait avec la direction positive Ox

Fig. 6.

celle des portions de la normale à la courbe ^ qui est dirigée dans

(^) Kronecker, Monatsberichte de rAcadémie de Berlin, mars et août 1869; février 1873; février 1878.

34o LITRE II. — LES RACINES.

le sens où o croît, c'est-à-dire vers la région extérieure; soient ©^ et <p' les dérivées partielles de ç par rapport k x et kjr; prenons le radical avec le signe + ; on aura

cos6= — '"^ ■. sinO= *-^

Choisissons sur la tangente à o au pied de la normale la direction t de telle sorte que l'angle de n avec t soit de même sens que l'angle de Oj? avec Oy] soit Ç l'angle de cette direction avec la direction positive de l'axe des x; on aura

Prenons la direction t comme sens positif d'un arc ds Ae o; soient dx et dy ses projections sur les axes de coordonnées; dx et dy seront proportionnels à — ?v et ç^, et de mêmes signes respectifs que ces quantités; par suite^ 4> désignant une autre fonction quelconque, la quantité

d^ =z ^'j^dx -\- ^'y dy a même signe que le déterminant fonctionnel

En prenant les axes de coordonnées comme d'habitude^ le sens positif des arcs sur <p est celui qui laisse la région intérieure à sa gauche. Lorsque, en parcourant la courbe ç dans ce sens positif, on pénètre par un des points d'intersection de ^ et de ^ dans Tintérieur de la courbe i^^ la quantité dif est négative^ par suite aussi le déterminant fonctionnel [Çj^]; dans le cas contraire, il est positif (y?^. 7). Un point d'intersection de cp et de t{^ s'appellera donc un point de sortie S(o, «l), ou un point d'entrée E(o, »}), selon que la direction positive de y conduit en ce point de Tinlérieur de à vers l'extérieur, ou de l'extérieur de ^J^ vers l'intérieur;

donc

t en un point S(o,4/)» ou a [?, ^]>o;