CHAPITRE VIII. — LE THÉORÈME DE STURM

si nous échangeons (f avec ^^ les points S(cp,<{/) deviennent les points E(ï};, ©), et les points E(©, <j^) deviennent les points

se-?-,?).

Les deux courbes ç et i{^ déterminent sans ambiguïté une portion de plan, caractérisée par ce fait que le produit ^^ y est né-

gatif. Nous l'appellerons Venclos (Binnenraum) du produit <pi{; ou ^y ; c'est, dans le cas de Idifig, 7, la région couverte de hachures.

§ 101. — Caractéristique d'un système de trois fonctions.

Adjoignons maintenant aux deux fonctions ^ et <{/ une troisième fonction f{x^y). La courbe représentée par l'équation /=o (la courbe/), est, par hypothèse, une courbe fermée dont tous les points sont à distance finie, et qui ne contient aucun des points d'intersection des courbes ç et ^.

Formons avec ces fonctions un cycle/, çj i{^, de telle sorte que f vienne de nouveau après <};, et faisons correspondre à ce cycle un sens déterminé sur chacune des trois courbes, par exemple le sens positif. Le sens négatif correspondra au cycle/, tj^, cp.

Considérons le premier cycle; décrivons la courbe / dans le sens positif, et marquons les points d'intersection de / et de cp. Un tel point sera dit un point de sortie S[/; cp, ^j^], lorsqu'en ce point la direction positive de /conduit de l'intérieur de Venclos (cp, <J;) vers l'extérieur; ce sera, au contraire, un point d'entrée E(/; cp, if)j lorsqu'en ce point la direction positive de y conduit de l'extérieur vers l'intérieur de Venclos,

Dans Xdijig. 8, les points tels que s sont des points de sortie, les points tels que e, des points d'entrée.

Le nombre total des points d'entrée et de sortie est égal au nombre des points d'intersection des courbes f et ©. Les deux

Fig. 8.

courbes étant fermées, c'est donc un nombre pair. Soient s le nombre des points S (/; o, ^J;), etele nombre des points E(/;©,tj/); la différence e — s est aussi un nombre pair; le nombre entier

s'appelle, d'après Kronecker, la caractéristique du système des

fonctions/, <p, i^, (Dans le cas de la fig, 8, elle est égale à — i.)

En faisant la permutation circulaire des fonctions /, ç, ^}/, on

obtient trois valeurs pour la caractéristique. On en obtient trois

autres en renversant le cycle, et en remplaçant, ainsi qu'il a été convenu, les directions positives par les directions négatives. En employant les symboles S(/; cp, A), E(/; ç, i() pour repré-