i[E(cp;/,4.)-S(ç

//^^ 5/x valeurs ainsi obtenues sont égales.

Pour le démontrer, décrivons la courbe /dans le sens positif, et marquons tous ses points d'intersection avec ^ et <]^. La courbe entrera autant de fois dans V enclos (f, i() qu'elle en sortira, puisqu'elle revient à sOn point de départ. L'entrée a lieu aux points tels que E(/;cp, <}/) ou S(/^tp,©); la sortie, au contraire, aux points tels que S(/; ç, if) ou E(/; if^ ç). Il en résulte que

ce qui prouve l'identité des expressions 1 et 4.

Si, en second lieu, nous décrivons la courbe <p dans le sens négatif, et, si nous marquons ses points d'intersection avec /, il en résulte que chaque point, tel que E(/; cp, if)y est aussi un point E(cp ;/,<{;), et que chaque point, tel que S(/;<p,((;), est aussi un point S(<p;/, if). En effet, dans \dijig, 9, a représente l'un quelconque des points d'intersection de /et de cp; si en ce point if est positif, on pourra l'appeler E(/; <p, ^J^) ou E(^;/, ^)\ si, au contraire, if est négatif en ce point, on pourra l'appeler S(/; ç, «j^) ou

Il en résulte l'égalité des expressions 1 et 6. En employant encore une fois le premier mode de raisonnement, on prouve l'égalité de 6 et de 2; en employant le second, l'égalité de 2 et de 5*, en employant encore «ne fois le premier, l'égalité de 5 et 3 ; il en résulte bien l'égalité des six valeurs.

On est donc en droit de désigner le nombre ainsi déterminé comme la caractéristique des trois fonctions/, ç, ^J^.

§ i02. — Relation entre la caractéristique et les points d'intersection.

IJ faut observer que la désignalion des points d'intersection de deux courbes comme points d^entrée ou points de sortie dans le § 100 est essentiellement différente de celle employée au § 101. Dans le premier cas, on envisageait les relations des points avec les deux courbes qui s'y coupaient ; dans le second cas, intervenait encore une troisième courbe. Celle différence esl exprimée très nettement parles notations choisies : E(ç, 4) et S(cp, J/) pour le premier cas; E(/; ç, ^j;) et S(/; o, tj^) pour le second. II nous faut maintenant examiner les rapports mutuels de ces notations.

Prenons, pour être clair, une figure un peu plus simple que la précédente, qui présentera en même temps tous les cas possibles

En un point E((p, A), la courbe © entre dans la courbe ^', •} passe donc du positif au négatif. Si, pour ce même point, / est

Fig. 10.

positif, ce point devra s'appeler E('^; ^t/)i ^^^ ^st le poinl i de la figure; si, au contraire, / est négatif, ce point devra s'appeler S('^; •},/), tel le point 3. Nous aurons donc les résultats suivants. Un point E((p, ^j;) s'appellera

^i^rhf) si/>o (poinl 1, yî^. lo), S(<î>;^,/) si/<o (points,/^. 10).