CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES

Dans la suite, nous emploierons souvent la notation

(7) II(m) = 1 .2.3. . .m, n(o) = i,

m étant un entier. On a évidemment

(8) II(m) = /?în(m — 1).

Cette notation permet d'écrire

(9) ci=cr'=

En posant CJJ = i , cette formule reste vraie pour v = o et v = /2 ; elle montre que

CV nn—^i n — ^/t •

La démonstration de Ja formule (4)) que nous venons de donner, repose sur la théorie des combinaisons ; elle est parfaitement claire et rigoureuse, mais elle exige, pour en voir toute la justesse, quelques réflexions qui ne peuvent tenir en peu de mots.

C'est pourquoi nous allons la démontrer à l'aide du procédé d'induction.

Les formules (3) nous permettent d'écrire les formules récurrentes suivantes :

On vérifie facilement la formule (6) pour les premières valeurs de n par calcul direct. Supposons-la vraie jusqu'à la valeur /i — i ; les*équations (lo) donnent

n(Ai-i) n(n~i)

C« — Ti/..\ n/^ T r; "*"

n(v)n(n — V — 1) n(v — i)n(Ai — V)

On en conclut, d'après (8),

ce qui démontre la généralité de la formule (g).

De ce qui précède, 11 résulte que les nombres Q, sonl des nombres positifs et entiers, ce qui était évident d'après leur signification.

Le binôme.

Si, dans la formule (i) du paragraphe précédent, nous supposons que les quantités a deviennent égales entre elles, nous obtenons la formule du binôme; ce n'est autre chose que le développement de la 71**°^ puissance du binôme x -\-y par rapport aux puissances de x.

Posons

ai — aj = . . . = y.n — —y\

la formule (a) nous donne alors

d'après le paragraphe précédent, C)f, désigne le nombre des termes de la somme qui deviennent tous égaux à ( — i)^J^^. On en conclut

(x H-^)« = ^« -\- Clx'^-^y -+- Cl a7«-2^« -»-...-+- Oly",

ou, en remplaçant les coefficients par leurs valeurs,

cette dernière somme est étendue à toutes les valeurs entières non négatives de a et ^, qui vérifient la condition

Les coefficients Q, s'appellent, pour cette raison, les coefficients binoniiaux.