CHAPITRE VIII. — LE THÉORÈME l>B STURM

Un point S(<p, ^) s'appellera

E(?;4'»/) si/<o (pointa, yî^. lo), S(©;4^,/) si/>o (point4,/^. 10).

En un point E(çp, <}/) le déterminant fonctionnel [ç, 'i] est négatif; en un point S(^, ej^) il est posilif (§ 100); nous pouvons donc résumer, comme il suit, les constatations faites :

E(ç; ^,/} est le nombre des points d'intersection de © et de ^{^ en lesquels [ç, ^]/est négatif ^

S(cp; ^,f) est le nombre des points d'intersection de o et de A, pour lesquels [<jp, AJ/^est positif. La caractéristique est donc égale à la moitié de l'excès du premier nombre sur le second.

On peut donner à ce théorème la forme suivante, dans laquelle il semble complètement indépendant de l'idée de grandeur, et ne paraît dépendre que de la position mutuelle des courbes et de leurs points d'intersection.

Distinguons les points d'intersection de o et de ej^ par les indices o- ou e, selon que ce sont des points S(y, t}^) ou E(cp,A); donnons-leur de même les indices o- ou e, suivant qu'ils sont extérieurs ou intérieurs à la courbe f] donnons à un point le caractère H- I (^) quand il possède les indices a et e, ou e et a; le caractère — i quand il possède les indices a et a, ou e et e; la caractéristique du système des fonctions (/, ^, ^) est égale à la demi-somme des caractères des différents points d^ intersection de f et de ^.

Les propositions et définitions, que nous venons de donner, demeurent sans changement, même lorsque les courbes considérées sont composées de plusieurs courbes fermées; ces courbes peuvent même présenter des points doubles; il suffît que sur chaque portion de courbe on puisse fixer le sens positif et le sens négatif; en d'auires termes, chaque portion de l'une des courbes/ (p ou J/ doit limiter des portions de plan dans lesquelles les fonctions ont des signes opposés.

(') Kronecker entend par caractère d'un point quelque chose d'autre. D'après sa définition { Monatsberichte de l'Académie de Berlin, 4 mars 1869), le caractère d'un point d'intersection de 9 et de ^ est la caractéristique d'un système de courbes que l'on déduit de/, cp, 4') ^" remplaçant la courbe / par une autre courbe ne renfermant que ce seul point d'intersection de 9 et de <{/.

Il faut seulement exclure les cas dans lesquels une des courbes passe par un point double de l'autre, deux des courbes se touchent, ou les trois courbes passent par un même point; dans ce cas, la désignation du point considéré comme point d'entrée ou point de sortie pourrait devenir incertaine.

Au cas où les courbes considérées auraient des branches infinies, nos théorèmes ne deviendraient applicables qu'après avoir au préalable limité ces branches par des portions de courbe arbitraire, ainsi que nous allons le faire voir au paragraphe suivant.

§ 103. — Application de la théorie des . caractéristiques à la limitation des racines complexes d'une équation.

Soient z^= X -i-yi une variable complexe, et

une fonction rationnelle et entière dezk coefficients réels ou non ; ?(^^y) ®^ ^i^fy) é^ant des fonctions réelles des variables réelles x eiy. Nous supposons que F{z) et F'(z) ne s'annulent pas simultanément. F(^) ne s'annule que pour les valeurs de z qui correspondent aux points d'intersection des deux courbes ^{x,y) ei^{x,y).

En prenant la dérivée de (j), il vient

F'(,) = çi-H,-^i = -t<p^ + ^;; il en résulte

donc

(3) [?.^] = <îxYy-^yVx=(^':cy-^(o'y)'=iV.y-^(^y)^

Le déterminant fonctionnel [^ , ^] n'est donc jamais négatif; il ne s'annule que lorsque cp^ et ç^, et, par suite, aussi ^'j. et 4^, deviennent nuls simultanément.

Ce fait ne se présente jamais en un point d'intersection de ç et ^j^, sans quoi F{z) et F' (2) seraient nuls simultanément. Le sens positif sur les courbes cp ou 6 est entièrement déterminé par le signe de la fonction dans les portions de plan voisines; il n'y a

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pas lieu de faire d'exception pour les points doubles en lesquels ?i ¥^1 y^s'annuleul à la fois.

Le déterminant fonctionnel [», tli] étant positif en tous tes points d'intersection des courbes f et ^, tous ces points sont des points de sortie S(!p, ^) ; il en résulte que les courbes ^ et '}< ne peuvent être fermées, et admettent des branches infinies, sans quoi un point de sortie serait nécessairement suivi d'un point d'entrée- D'ailleurs, les courbes <f el ^ déterminent un enclos, dans lequel le produit «i|i esl négatif.

Adjoignons maintenant aux deux fonctions fet^ une troisième fonction^(3;,y), qui, égalée à zéro, représente une courbe/ermee, et déterminons la caractéristique du sysli-me de ces trois fonctions, comme précédemment, en parcourant ta courbe y,

Dans ioijîg. 1 1, la caractéristique est, par exemple, égale à 2. Afin de pouvoir appliquer nos tbéorèmes, il nous faut transformer les courbes cp et i{i en courbes fermées en les reliant par

d'autres portions de courbes, lesquelles sont toutes supposées extérieures à /. La caractéristique de ce nouveau sjstème est encore déterminée par la formule (4). Dans lay?^. 1 2, par exemple, les courbes ont été complétées de cette manière. Les points d'in-

tersectîon complémentaires ainsi introduits peuvent être soit des points de sortie S(cp, <};), soit des points d'entrée E(©, t}^). Nous désignerons leur nombre par

S'(^,^) et E'((p,^.);

le nombre des points d'intersection primitifs est S(ç, A). D'ailleurs, on a nécessairement

(5) S(cp,4;)-+-S'(cp,il.) = E'(<p,4.).

Divisons les points S(cp, A) en deux groupes, les points S<,(?5, ^) à l'extérieur dey, et les points S6(ç, ^) situés à l'intérieur de y*. Les points d'intersection possèdent alors les caractères suivants :

Sff(<5>,'J'), — i; 85(0, i)^), -+-i;

S'(?,il;), -1; E'(cp,4.), -^1.

Le double de Ja caractéristique est alors égal à

(6) --SffH-Sg— S'-+-E'=2A' (enlaissant de côté la notation (p, 'l)\ en ajoutant membre à membre avec (5), il vient

(7) ^-=S,; donc :

La caractéristique est égale au nombre des points d'intersection des courbes (f et ^ situées à l'intérieur de la courbe/.

Ainsi la caractéristique permet de déterminer le nombre des racines de l'équation F(;;) = o, dont les affixes sont situés à l'intérieur d'une courbe arbitraire donnée. Les portions de courbe auxiliaire ne jouent, dans celte détermination, aucun rôle et peuvent donc être supprimées.

§ 104. — Détermination de la caractéristique.

l^our que le théorème précédent soit d'une application pratique, il faut encore montrer comment on peut effectivement détermi-