CHAPITRE VIII. — LE THÉORÈME DE STURM

ner la caractéristique. Supposons la courbe /divisée en arcs tels que chacun d^eux contienne un point d'intersection avec une des courbes © ou 4 et un seul. Soient a et 6 l'origine et l'extrémité

d'un de ces arcs, et i le point d'intersection de / et <p qu'il contient. Ce point Ç sera un point E(y; ç, ^), lorsque le produit icp est positif au point a; ce sera un point S(/; 'f, «j^) lorsque le produit (fà est négatif au point a. On pourra donc déterminer entièrement la caractéristique à l'aide des signes des fonctions ^ et ç aux difTérenls points de division de la courbe/. Le théorème de Sturm nous apprend à déterminer ces points de division.

Supposons a: ety exprimés à l'aide d'une variable/, qui prend le long de la courbe/ toutes les valeurs réelles de — oo à -h oo (ou seulement les valeurs appartenant à un certain intervalle fini). Les fonctions <p et <{/ se transforment alors en fonctions de la variable t; on est ramené à chercher la position de leurs racines à l'aide du théorème de Sturm.

Supposons (yî^. i4) que la courbe/ soit un cercle, ajant pour équation

35o LITRE II. — LES RACINES.

il suffira de poser

r-Mp

t prend toutes les valeurs de — oo à -l-oo, pendant que le point {x^y) décrit tout le cercle dans le sens positif. En multipliant les fonctions cp et t|/ par des puissances convenables de I + /^, elles se transforment en fonctions entières et rationnelles de t^ auxquelles on peut appliquer le théorème de Siurm.

§ 105. — Première démonstration, donnée par Gauss, du théorème fondamental de l'Algèbre.

Gauss a donné trois démonstrations différentes de ce théorème fondamental de TAlgèbre, qu'une équation de degré n admet n racines. La première, qu'il a d'ailleurs développée et transformée plus tard, se trouve dans sa thèse de Doctorat; l'idée qui lui sert de base est, quoique sous une autre forme, celle même sur laquelle repose la notion.de la caractéristique (*). L'exposé de cette démonstration trouve donc sa place naturelle à la fin de ce Chapitre.

Soit donc z^=^x -fyi\ soit, d'autre part,

une fonction rationnelle et entière de z de degré /i, à coefficients réels ou complexes, dans laquelle le coefficient de z*^ est égal à i\

(2) F(z) =;5«H-ai-ï«-»-4-aj5»-*-h...-han.

Nous supposerons que F(z) et F'(^) n'ont pas de plus grand commun diviseur. Pour démontrer que ¥{z) s'annule pour n va-

( ' ) Gauss, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in /adores reaies primi vel secundi gradus resolvi posse; 1790. — Contributions à la théorie des équations algébriques; 1849.

Kronecker, Monatsberichte de l'Académie de Berlin; 21 février 1878.