CHAPITRE YIII. — LE THÉORÈME DE STURM

leurs de 5, on fait voir qu'en prenant pour / un cercle de rayon suffisamment grand, la caractéristique du système des trois fonctions/, .©, ^ peut être déterminée, et qu'elle est égale à n. Il en résultera bien (§ 103) que, dans le cercle ainsi déterminé, il y a n points pour lesquels F (5) est nul.

Faisons usage de coordonnées polaires et posons

P\j P21 • • • î /^«, R- sont des quantités positives; q\^ q-if » "t Çny H sont des angles pouvant être choisis dans un intervalle quelconque égal à 27C. Il vient alors

. ( ?(^,r) = R''cos/?6-i-/?,R«-»cos[(n — i)e-f-9,]-h... ^ pn cos g n, ( ^(^>^) = R'*sin 71 0 -4-/?iR'»-* s\n[{n — i)B-hqt]-h...-^-pnsmg„.

Prenons les dérivées de ces fonctions par rapport à 0,

-rjr = — AlR« Sin Al 8

ai)

— ( /i — 1 ) /?i R«-* sin [(/i — i)0 -4-^1] — — /7rt iRsin(9-+-^rt i),

-+- n R'» cos n 6

(/l — l)jD,R«-» cos[(/i — 1)6 -h Çi]

pn-x Rcos(9 4-^«-i).

Divisons maintenant la circonférence du cercle de rayon R en 4/1 parties égales^ Fangle au centre de chacun de ces arcs sera