TZ

commençons la division au point 0 = — (o. Les points de division

sont alors

— w, w, 3a>, 5co, ... ,(8/i — 3)co;

nous donnerons aux intervalles successifs les indices i, 2, 3,...,4/^; le segment d'indice v a donc pour points limites (2V — 3)a) et (2v — i)(i>.

La fig. i5 donne cette division pour n = i.

Dans les intervalles i, 3, 5, . . ., 4^^ — ^j cos/iS est, en valeur

absolue, plus grand que — =, et alternativement positif et négatif.

Fig. i5.

Uu

nu»

10 10 OJ

Dans les intervalles ?., 4; 6> •••9 4'Z7 sin/iO est, en valeur

absolue, plus grand que — > et de même alternativement positif

et négatif.

On peut choisir R assez grand pour que, dans les intervalles

I, 3, 5, . . ., 4/1 — I? ^ ^^ ;ïk soient le signe de cosnO, et pour que,

dans les intervalles 2, 4) 6,..., 4'' 9^ et — -j? aient le signe de sin/zO.

La fonction <p changeant de signe dans chacun des intervalles 2, 4; 6, •••, 4^^) c'ie passe par zéro dans chacun de ces intervalles; comme sa dérivée conserve un signe constant dans chaque intervalle, la fonction f ne passe qu'une seule fois par zéro.

On démontre de même que la fonction ^ passe par zéro une fois et une seule dans chacun des intervalles i, 3, 5, . . •, 4^ — i*

Nous avons ainsi une segmentation de la circonférence du cercle, précisément sous la forme exigée par le paragraphe précédent pour la détermination de la caractéristique; comme aux points de division o), 5o>, . . . (4/î — 3)ù) le produit®^ est positif, on ne rencontre sur la circonférence aucun point S{/] f, ^), et le nombre des points E(/; y, J') est égal à a/i; le nombre des racines de F(z) est donc égal à n; c'est ce que nous voulions prouver. En décrivant / dans le sens opposé, on ne rencontre