CHAPITRE YIII. — LE THÉORÈME I^E STURM

jamais de points S(y*; ^, f) et le nombre des points E(/; A, tf) est de même égal à 2/1.

Les points 0 = - et 0 = — ^ de la circonférence appartiennent

aux segments d'indice /i + 1 et 3« + i ; leur indice est donc un nombre pair ou impair, suivant que n lui-même est impair ou pair. Donc, n étant pair, ces intervalles contiennent chacun un point d'intersection de ^ et n'en contiennent pas de 'f ; ai étant impair, ils contiennent chacun un point d'intersection de cp et n'en contiennent pas de ^. On en conclut que :

Le cercle f étant divisé par Vaxe des y en deux demi-cercles, chacun de ces demi-cercles contient

n points E(/; cp, ^), si n est pair, n points E(/; i}^, çp), si n est impair.

Cette remarque nous permet de nous rendre compte de la distribution des racines à l'intérieur des demi-cercles, suivant la manière dont se comportent les fonctions cp et i{^ sur l'axe des^.

§ 106. — Théorème de M. Hurwitz.

Dans le Mémoire déjà cité (§ 99), M. Hurwitz a établi les conditions pour qu'une équation à coefficients réels n'admette que des racines à partie réelle négative.

Conservons par raison de symétrie le coefficient ao;nous pourrons le supposer positif et égal à i ; prenons l'équation donnée sous la forme

(i) F(3) = ao'S'»-!- «1 ^î^-^.-i-. ..-+- a«= o.

Les coefficients Oo» ^n • • • 7^/1 sont, par hypothèse, des nombres réels. Si l'on remplace z par un nombre purement imaginaire^/, ¥{z) se décompose de la manière suivante; on pose

et l'on a

(3) F(^0=t«(Fi-'^'Fi).