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D'après les notations du paragraphe précédent, on a donc

(f) l ?(o»r)==tF"i» ^(o»r)==FFî» si/iestpair;

r ?(o,r) = — Fi5 4'(«»jr) = =pF'i» si /i est impair.

Toutes les racines de F devant avoir des parties réelles négatives, F, et Fa ne peuvent s'annuler simultanément pour aucune valeur réelle dey, sans quoi F aurait une racine purement imaginaire. De plus, tous les points racines devront se trouver dans le demicercle portant dans \dijig, i5 les nombres 4? 7» ïo. En prenant pour courbe f les lignes qui limitent ce demi-cercle, il devra y avoir sur ce contour 2 n points E(y; cp, i/)elin points £(/"; ^, »). D'après la proposition finale du paragraphe précédent, le diamètre devra donc contenir

n points E(/; o, <{/), si n est pair; n points E(/; <{/, ç), si n est impair.

Il résulte alors de (4) que, dans les deux cas, le diamètre contient n points racines de F, = o; en ces points le produit F, (y) F2(j') doit être positif afin que ce soient des points E(/;cp,^) ou

Puisqu'il doit y avoir n de ces points et que F, est du degré /j, F, {y) ne peut s'annuler en même temps que F, (y).

Il faut donc tenir compte des hypothèses du théorème (3) du § 9o, lorsqu'on écrit F| et Fa au lieu des fonctions / et 0 considérées à cet endroit. Afin de pouvoir l'appliquer, il est nécessaire de calculer les'-délerminants Cy et, par conséquent, les coefficients Cy du développement de la fraction Fa : F| par rapport aux puissances décroissantes àey. La fonction y Fa : F, ne dépend que de y'^\ son développement par rapport aux puissances décroissantes dey ne contiendra donc que des puissances d'exposant pair; par suite

C| = Cj = C5 = . . . = o.

Dans ce cas la forme biquadratique T [§ 99,* (6)] se décompose en deux formes