CHAPITRE VIII. — LE THÉORÈME DE STURM

dont la première ne contient que les variables ^o* ^29 ^4. • • •, la seconde les autres variables ^f , ^3, ^5, . . . . Dans le cas que nous envisageons, chacune de ces formes doit être défînie, et, en particulier, positive.

Posons, dans le cas de n pair,

Cfi—t C/i

Cn-t

Ctn-k

• • Cti

Cn+î •

Ctn-

et, dans le cas de n impair,

Cn~l C«f i

Cn-t

C/i-Hl

• • • • Cfn-i

Cl,

Cn-\

C/i-I Cn-hl

Cin-i

d'après le théorème VII du § 89, nous aurons le théorème suivant :

1. Pour que Inéquation F{z) = o n^admette que des racines à partie réelle négative, il faut et il suffit que les déterminants C, C" et tous leurs mineurs principaux soient positifs.

Évidemment, il suffit (§ 89) qu'une chaîne de mineurs principaux de C, C soit formée de termes positifs.

Le calcul des coefficients Cq, C2, C4, ... se fait par le procédé suivant, très simple. On forme le produit

Fi(Co-f- c,^«-T- c,,y-^-\-.. . ).

Ce produit ne peut renfermer de puissances de ^ à exposants négatifs ; les coefficients des puissances d'exposants positifs doivent être égaux aux coefficients des puissances correspondantes dans y^2{y)' D'après (2), on en conclut les équations suivantes pour le calcul des coefficients successifs Cq, C2, C4, ....

ai «7

«oCo,

«oCî-

«oCv-

rtoCj-

ajCo, a, Cl UiC

«*Co,

ûTiCt— agCo,

;>/ UTKC |f« — LES IICUES.

M. Humitz a mi» c^« conditions k>u? une antre forme: irur i»^lt^:i e^t pluf simple, mais ei.içe le calcul de déterminants d*ordnf *ij parieur,

f^our ne pas cacher l'ensemble par des formules trop développées, nou» ferons le calcul sur un exemple qui fera parfaitement comprendre la marche â suivre dans le cas général.

Mettons le second mineur principal de C\ savoir c^Ci — ri.

»oiJS la forme

o <*, Cj C; , O O Cl, Cm

« Cv Cj Cl O I O O

o o Co rj :

mulljplions cette dernière expression par

rt«

flo

Il en résulte, d'après les équations (6),

= ao

— at

le dernier délermînant écrit doit donc être positif. On traite d'une façon analogue les mineurs principaux de C, en posant, par exemple,

t'iQ, — c\

ce (|ui conduit ù l'expression