CHAPITRE VIII. — LE THÉORÈME DE STCRM
déterminant qui doit aussi être positif. On en conclut le théorème de M. Hurivitz :
2. La condition nécessaire et suffisante pour que V équation F =: o n^ admette que des racines à partie réelle négative est que le coefficient a^ et les n premiers termes de la chaîne des mineurs principaux A,, A2, . . . , A^ du déterminant
ai ao o o o o
a^ as ai ao o o
ag a^ a^ a\ a\ a^
a^ as ag a^ a^ aj
soient positifs.
Ce théorème a été démontré en supposant que F(2) n'admet pas de racines multiples, ou que le discriminant de cette fonction n'est pas nul. Il est aisé de s'affranchir de cette restriction.
Si les déterminants du théorçme 2 sont tous' positifs, la forme quadratique T est positive et, par suite [§ 99, 1], F, et F2 ne peuvent avoir de racines communes; F ne peut donc avoir de racines purement imaginaires.
De plus, F ne peut avoir de racine à partie réelle positive; s'il en était ainsi, on pourrait faire varier les coefficients de y de quantités assez petites pour que les déterminants du théorème 2 restent positifs, que F admette toujours des racines à partie réelle positive et que la nouvelle fonction F n'admette plus de racine multiple. Ces résultats sont en contradiction avec le théorème 2.
Réciproquement, si F(s) n'a que des racines «imaginaires à partie réelle négative, aucun des déterminants du théorème 2 ne peut être négatif.
Reste donc à faire voir que, en faisant cette hypothèse sur les racines de F, aucun des déterminants ne peut devenir nul. Supposons, par exemple, que
aj
ai
ai
do
as,
soit le premier mineur nul. Dans ce déterminant, a^ a pour coeffi-
cient — ao^2 qu> est Dégatif par hypothèse. Changeons alors F en F'==: F -4- e<^; on pourra déterminer les coefficients de ^ de telle sorte que, pour des valeurs positives ou négatives de t suffisamment 'petites, la fonction F' n'ait plus de racines égales, et que les parties réelles de ces racines restent positives.
Ordonnons A4 par rapport aux puissances de e; le coefficient du terme en e n'est pas identiquement nul; par suite, on peut encore choisir le signe de e de façon que A4 devienne négatif. Ce résultat est en contradiction avec le théorème 2.
