LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES

§ 107. — Théorème de Budan et Fourieri

Les fonctions de Sturm résolvent d'une manière parfaite, et sans aucune exception, le problème de la détermination du nombre des racines d'une équation comprises entre des limites données; mais leur calcul est difficile et souvent impraticable. On connaît un certain nombre de théorèmes relatifs à ce même problème, qui donnent des règles beaucoup plus simples; à la vérité, ils ne donnent pas la solution complète de la question, mais fournissent simplement un maximum, que le nombre inconnu ne peut dépasser. Ces règles sont très utiles dans la pratique, et souvent elles suffisent; nous ne devons donc pas manquer de les donner.

Voici d'abord un procédé dû à Budan , ulilisé et généralisé par Fourier (*).

Considérons, au lieu d'une suite de Sturm, la suite des dérivées d'une fonction /(^), réelle, de degré n

/^"^(x) est une constante que nous supposerons différente de

(*) BuDAN, Nouvelle méthode pour la résolution des équations numériques (communiquée à l'Académie des Sciences, i8o3).

Fourier, Analyse des équations déterminées, Paris, i83i.

Pour l'historique de cette question, voir Laqrange, Traité de la résolution des équations, Note VIII {Œuvres, t. VIII).

Des recherches récentes semblent démontrer que Fourier connaissait ce théorème, dès 1786, bien avant sa publication par Budan. J. G.

36o LIVRE II. — LES RACINES.

zéro et positive. C'est, à un facteur positif près, le coefficient de a;" dans/(^).

Supposons qu'on demande le nombre des racines réelles de Téquation f{x) = o comprises Qntre deux nombres a et p (P > a)-

Supposons d'abord qu'entre a et P deux fonctions consécutives ne s'annulent pas simultanément et qu'aucune des fonctions considérées ne s'annule pour a; = a ou a; = p.

Faisons croître x d'une manière continue de a à P; il ne peut se produire de changements dans les signes des fonctions de la suite (i) que lorsque l'une d'elles passe par zéro. Si /^^^(x) s'annule pour a: = Ç, cette fonction passe du négatif au positif, si sa dérivée /^^*'(^) est positive; elle passe du positif au négatif si sa dérivée y ^^*^ (or) est négative; dans les deux cas, il se perd une variation entre f^"^ et f^^'^^K Cette proposition reste d'ailleurs vraie quand, au lieu de f^^^[x)^ on considère la fonction /(j;) elle-même.

Lorsque f^"*^ est l'une des dérivées, elle est précédée par une autre fonction /^^~*^ qui, par hypothèse, ne s'annule pas et ne change pas de signe pour x = \. Si /^^"*^ est de même signe que y(^*>, le même raisonnement prouve qu'il se perd aussi une varialion entre /^^~'^ et/^^^; si /^^~*^ est de signe contra'ire à/^^*\ on gagne une variation entre f^"'^^ et/^^^

Donc, lorsqu'une fonction intermédiaire de la suite passe par zéro, le nombre des variations ne change pas ou diminue de deux unités.

Lorsque la fonction /(j;) passe par zéro, le nombre des variations diminue d'une unité.

D'où ce théorème :

L Le nombre des racines de f{x) comprises entre les^ nombres ae/p(a<;P) est au plus égal au nombre des variations perdues par la suite (i) quand on j fait successivement X =^% et x=^^\ s'il en diffère, c^est d'un nombre pair.

En désignant par V(:r) le nombre des variations que présente la suite (i) pour une valeur quelconque x^ le nombre des racines comprises entre a et p est égal à

h étant un nombre entier, positif ou nul.