CHAPITRE IX. — UHITBS DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES. 36l

Reste à examiner le cas où, dans la suite (i), plusieurs fonctions successives s'atinulent simultanément. Considérons la suite des fonctions

Supposons qu'elles s'annulent, excepté la dernière, quand on attribue à :r la valeur Ç comprise entre a et ^, et que la dernière prenne par exemple le signe -4-.

Prenons, de part et d'autre de Ç, deux intervalles û| et 82, le premier comprenant des valeurs inférieures à Ç, Tautre des valeurs supérieures; supposons ces intervalles assez petits pour que les fonctions (3) ne s'annulent pour aucune valeur appartenant à ces intervalles et que, par suite, f^'^^^{x) conserve le signe 4-.

f^'^^^{x) étant positif, /'^'^H'-O(^) est croissante dans l'intervalle (J<, 82); par suite, celte dernière fonction est négative dans 84 et positive dans 82.

Il en résulte que /^^^^"^^(a;) décroît dans l'intervalle 8,, croît dans 82; comme elle s'annule pour ^ = Ç, elle est donc positive dans les deux intervalles. En répétant le raisonnement pour toutes les fonctions successives, on trouve qu'elles ont, dans les deux intervalles, les signes suivants :

(4) /^^'(^) /^-^»K^) /tv-^«H^) .-• r'^^V'-^K^) /^^+t^H^)

II en résulte que^ lorsque x atteint et dépasse Ç, la suite (4) ne présentait d'abord que des variations qui se changent toutes en permanences; il se perd donc [a variations.

Si /^^H'^(ç) était négatif, il suffirait de changer les signes des fonctions (4); la conclusion serait d'ailleurs la même.

Soit maintenant v = 0 ; la première des fonctions (4) est alors la fonction f{x) elle-même, laquelle admettra la racine Ç avec l'ordre de multiplicité |a. Le raisonnement précédent prouve que, dans le passage de x par Ç, la suite (i) perd u. variations.

Si, au contraire, v est positif, et si la fonction y^~* (j:)qui précède f^^^{x) est différente de zéro pour :c = Ç, nous avons la succession de signes suivante :