CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES

Voici un petit tableau d'ensemble des valeurs de ces coefficients pour les premières valeurs de n :

n = i II

71 = 5 I 5 10 lo 5 1

Parmi les différentes propriétés des coefficients binomiaux, nous allons en démontrer deux, dont nous ferons ensuite une application intéressante.

Remplaçons dans la formule (i) ^ el^ par i et ^; donnons à n la suite des valeurs o, 1,2, ...,/?; il vient alors

i = ci!,

(2) / (i^.r)2=c;4-Cja7-+-C?x2,

(i^x)n= C,î-+-Cia7-i-...-hG;îar«.

Additionnons membre à membre; faisons usage de la formule qui donne la somme des termes d'une progression géométrique ; 00 a

Développons (i + x)""^*^ en appliquant de nouveau la formule du binôme; il suffit pour cela de changer n en n -h i dans la dernière des formules (2); on peut d'ailleurs remplacer C^^^^ par 1 , on trouve alors

Cette somme doit être identique à la somme des seconds membres des formules (2). En écrivant que les coefficients des

mêmes puissances de x sont égaux, il vient

Cg 4- C 1 -4- G j -t- . . . -h C^ = C„^.| ,

Cn pn+i

OU bien, en général,

(5) C^-\- Gî j., -h ...-+- en = C^'^Y

Multiplions maintenant les deux membres des équations (2) respectivement par

en prenant le signe + ou —, selon que Findice n est pair ou impair; la somme des premiers membres sera

Gî — Gi(i -hx)-v- Gj(i-ha?)» — ...±C2(i -f-a:)« = [i — (i -+- x)]» = {-x)n.

En identifiant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, on trouve le système d'égalités

( fi) )

0= — G;iGi -f- G,jG, — . . .±: G;,G„,

±1- ±c;ic;,

Si l'on fait maintenanl usage de la formule Q, = Gj""^, ce même système peut s'écrire en ordre inverse :

' = CÎGS,

O = G„ G„ — G,, Grt i , (7) W = CjC»-CiCi.,-HCjCj.,

\ o = G^G;, — G;,G;,i "h G^jG^.j — . . .± GJGJ, ou bien, sous forme générale,

= 0 (fx = I, -2, 3, . . ., n).