JL pair

0, -^ — Oj

% (X impair

a) /'v-iHar) /iv)(x) b) f^^\x) f^^\x)

Oj H- -t- 0]

Si donc [Ji est impair, il ne se perd pas de variation entre /^^"^^ eif^^^; si }x est impair, on perd ou l'on gagne une variation. Par conséquent, dans la suite,

le nombre des variations perdues, lorsque x atteint et dépasse i* est égal à |x, lorsque |x est pair; il est égal à jx ± i, lorsque [x est impair; c'est dans tous les cas un nombre /7a<>, et il n'est jamais négatif.

Nous allons donner de ces résultats une expression analytique qui fera mieux reconnaître leur signification.

Soit, comme précédemment, V(x) le nombre des variations que présente la suite (i) pour une valeur déterminée de x, avec cetle condition que, si pour une valeur de x certains termes s'annulent, on passe ces termes dans le compte des variations. On peut alors considérer Y{x) comme une fonction de x, dont la valeur ne peut varier que de nombres entiers; elle est donc discontinue pour les valeurs de x qui annulent les différents termes de la suite (i).

Désignons par Y{x — o) et V(x + o) les valeurs de la fonction correspondant à des valeurs un peu plus petites et un peu plus grandes que x. L'analyse précédente montre alors qu'on a dans tous les cas

si Ç est une racine multiple de/(x), d'ordre [x, on a

(7) ya-o) = \a)-^iL-i-2h,

h étant un entier non négatif.