CHAPITRE IX. — LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES

Supposons alors, en premier lieu, qu'aucune des fonctions (i) ne s'annule pour x=^ol ou x = P'y il résulte de ce qui précède que V(a) — V(P) est au moins égal à la somme de tous les nombres [jl, c'est-à-dire au nombre des racines comprises entre a et p, chacune étant comptée avec son degré de multiplicité; si elle en diffère, la différence est un nombre pair, non négatif. Le théorème I est donc absolument général.

Nous pouvons même faire disparaître la dernière restriction que a et ^ ne se trouvent pas parmi les racines de f{x). Notre théorème est, en effet, applicable à deux, nombres, Tun un peu plus grand que a, l'autre un peu plus petit que ^; ces nombres comprennent les mêmes racines que a et ^; en désignant par z le nombre de ces racines, il vient

V(a -4- o) - V(P — o) = 5 -f- 2/i, comme d'ailleurs

V(a H- o) = V(a), V(p - o) = V(p) -+■ ih',

il en résulte que

ce qui est précisément le théorème en question.

D'après cela, si a ou ^ figurent eux-mêmes parmi les racines de f(^x)^ le théorème n'est exact ique si Von ne compte pas ces valeurs limites parmi les valeurs de ^intervalle.

Le théorème de Budan et Fourier ne permet pas, comme Je théorème de Sturm, d'indiquer d'une façon précise, le nombre des racines comprises dans un intervalle donné; en bien des cas pourtant il peut lui être substitué. Si, en effet, on a restreint l'intervalle (a, ,6) de telle sorte que, par la substitution de a et de ^, la suite (i) ne perde aucune variation ou n'en perde qu'une seule, on en conclura avec certitude que l'intervalle (a, P) ne contient pas de racine ou n'en contient qu'une seule.

La suite de Budan ne fournit donc exactement le nombre des racines, que si elle ne perd pas plus d'une variation, quand x atteint et dépasse la valeur Ç. Si petit que soit l'intervalle (a, P), on ne peut reconnaître avec certitude qu'il en est ainsi. 11 faudra donc recourir à un autre procédé, lorsqu'on n'aura pas réussi après une diminution convenable de l'intervalle, et, en dernière instance, il faudra revenir au théorème de Sturm.

§ 108.— La règle de Newton.

Une règle értoncée par Newton, et démontrée seulement par Sylvester (*), permet de compléter la règle précédente et de donner une limite plus approchée du nombre des racines.

Soit de nouveau

(ï) /(^) = «0^'*-+- aiX"-^-{-. . .-¥- art ia:-f- «„ — o

Téquation proposée. Désignons, comme d^habilude, parll(/n) le produit 1.2.3. . ,m, paryf^^(^) la dérivée d'ordre v de la fonclion f{x)^ et posons

(•^■) Mo^)= n(n) -^^^^^

(3) Fv{^) = l/v(x)]«-/v-t(^)/vH-i(^), avec la condition que

(4) Fo=F = i, F„=(/«)t;

ces quantités sont donc positives, ce qui est l'essentiel.

D'après les égalités (2) et (3), les dérivées des fonctions f^ et Fv ont pour valeurs

(6) /vF;(ar) = (/i-v-i)(Fv/v+,+ Fv+,/v-,).

En faisant abstraction des facteurs constants positifs, on pourra remplacer la suite de Budan par la suite

y? y 11 Jt-i • • • 1 Jn*

La règle de Newton fait usage de la double suite

(') Newton, j4ri7Am«fica universatis.

Sylvester, Transactions 0/ the R. Irish Academy, t. XXIV; 1871. Phii. Mag.f 4* série, t. XXXI.

Voir aussi Petersen, Théorie des équations algébriques-, Copenhague, 1878.