CHAPITRE IX. — LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES

En coDsidérant deux termes consécutifs de cette double suite, tels que

pour une valeur donnée de x, qui n'annule aucune des quatre fonctions, on trouve, que, au point de vue de la succession des signes, les cas suivants peuvent se présenter :

Cl, ^ j 1 ^ *^* j

d, ^ , ■'■ , "^, "V. VP.

Nous désignerons ces différents cas par les expressions et symboles suivants :

a. Permanence-permanence * (PP)

h. Variation-variation (VV)

c. Permanence-variation (PV)

d. Variation-permanence ( VP)

On démontre alors les deux propositions suivantes :

IL Le nombre des racines de f{x)y comprises entre a et p, est égal, ou inférieur d'un nombre pair au nombre des variations-permanences que perd la double suite {'j)^ quand on y substitue les nombres a et ^.

III. Le nombre des racines de f{x) comprises entre ol et p est égal ou inférieur d'un nombre pair au nombre des permanences-permanences gagnées par la double suite (7), quand on y substitue les nombres a et ^,

Ces deux théorèmes ne donnent pas toujours la même limite supérieure pour le nombre des racines; on emploiera donc celui qui donne la limite la plus petite.

366 LIVRE II. — LKS RACLVES.

Nous ferons les hypothèses suivanles, dont nous nous affranchirons en partie plus tard.