Il en est de même de deux fonctions consécutives Fv

4. Comme conséquence de (2), il résulte de Téquation (3) que fy, et Fy ne s'annulent pas pour la même valeur de x,

5. Aucune des fonctions f^ ou Fy ne s'annule pour x ^ol ou x=^.

Voici maintenant la démonstration :

Faisons croître x d'une manière continue de a à j3; un changement dans la suite des signes ne peut se produire que lorsqu'une des fonctions fy, ou Fy passe par zéro. Il s'agit de voir ce qui se passe dans les différents cas.

Supposons d'abord qu'une des fonctions intermédiaires /y, (o < V < /i) de la suite / devienne nulle; selon que fy,^\ est positif ou négatif, la fonction fy, sera croissante ou décroissante. Dans le premier cas, f^ix — e) sera négatif, fs{x -\- 1) sera posilif; c'est l'inverse dans le second cas. Il résulte, en outre, de l'équation (3), que, dans l'hjpothèse /'y= o, les fonctions Fy i etFy^i sont positives, et que Fy est de signe contraire au produit yv-i/v+i- Nous résumons, dans le tableau ci-dessous, les différents cas possibles, en laissant de côté ceux qui se déduisent des cas du tableau par le changement simultané des signes de/y^,, /"y, /v+i; ils ne donnent pas, en effet, de résultats nouveaux.

On a donc pour