W VV

VP VV

Dans le premier cas, on gagne deux PP; dans le second et le quatrième* cas, il ne se produit aucun changement; dans le troisième cas, on perd deux VP.

Les théorèmes II et IIJ sont démontrés par là même.

Nous pouvons maintenant lever la restriction faite que, parmi les fonctions / et F, deux fonctions voisines ne s'annulent pas pour la même valeur de x. Si, en effet, on fait toujours la première hypothèse que l'équation y*(^) n'admet pas de racines multiples, on peut faire subir aux coefficients a^ de la fonction/* des altérations assez petites pour que les hypothèses 2 et 3 sur les fonctions / et F soient vérifiées, et pour que, d'autre part, aucune des racines comprises entre a et P ne sorte de cet intervalle. Chaque racine étant simple, il est impossible qu'une racine réelle devienne imaginaire. Le théorème étant alors vrai pour la fonction y transformée l'est encore pour la fonction donnée.

Nous ne rechercherons pas si le théorème reste encore vrai dans le cas des racines multiples, en comptant chaque racine avec son degré de multiplicité.

§ 109. — Théorème de Descartes.

Le théorème de Descartes (qu'on appelle aussi théorème de Ilarriot (*)] fait connaître une limite supérieure du nombre des racines positives. On peut le considérer coiAme un cas particulier du théorème de Budan, en prenant a = o et ^ infini, ou du moins assez grand pour que les fonctions

( ' ) Harriot, Artia ancUyticœ praxis ad œquationes algebraicas resolvendas; i63i.

Gauss, Œuvres, t. III, p. 67.

Laoranob {loc, cit.).