CHAPITRE IX. — LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES

soient toutes de même signe pour les valeurs de x plus grandes que p. Ce signe est celui du terme de degré le plus élevé de/(^) ; on peut le supposer positif.

Soit

abstraction faite de facteurs positifs, les fonctions (i) prennent, pour X = 0, les valeurs

(2) a„^ rt/i-i, ût/i-t, ..., flo ;

d'où ce théorème :

IV. Le nombre des racines positUes de V équation f (^x) =: o est égal, ou inf é rieur d* un nombre pair, au nombre des variations que présente la suite des coefficients de f{x). On négligera les coefficients nuls et Von ne tiendra pas compte de la racine a: = o, si elle existe.

Pour trouver une limite supérieure du nombre des racines négatives, on peut appliquer le théorème de Budan et Fourier à rintervalle ( — oo, o), ou bien changer, dans l'équation proposée, j: en — x^ ce qui change les signes de ai, aa, «5, . . ., et appliquer à Péquation proposée le théorème IV.

Nous allons particulariser de la même façon la règle de Newton (§ 108).

Remarquons à cet effet que Ton a

et, par suite, que

p, , n(v)n(v — i)n(/i - v)ii(n — V — I) Fv(o)= - — . ^iiCTônT^

X [v(/i — v)a«^ — (v-4-i)(/i — v-+-i)art v-ia„v-f-i];

. en outre, la suite des fonctions yv(^) ne présente que des variations pour :r = -*- oc et des permanences pour a: = -f- 00. Si donc on pose

(3) Av= v(/i — v)a*— (v-H i)(ai — v-h i)av-i«v^-i,

Ao= I, A,,= I, W. 2',

Av sera égal à F«v(o) à un fadeur positif près ; la suite double (7) du § 108, écrite dans l'ordre renversé, aura mêmes signes que les nombres de la double suite

( <^0> «I» ^îi ■ ■ •. ^//,

( '^Oî -^1) ^^2j • • ' ' -*^/l'

Pour X = -h 00, on perd toutes les variations de la suite des fonctions

pour X = — oc, on perd toutes les permanences. Donc, dans la suite double des fonctions /y, Fv, on perd pour x = -\-oo toutes les VP, et pour 5; = — 00 toutes les PP.

Les théorèmes II et III du § 108 nous permettent alors d'énoncer les deux propositions suivantes :

V. Le nombre des racines positives de f{x) est égal, ou inférieur dhin nombre pair au nombre des VP dans la suite double (4).

VI. Le nombre des racines négatives de f{x) est égal, ou inférieur d'un nombre pair au nombre des PP dans la suite double (4).

La somme des nombres des VP et des PP est égal au nombre des permanences de la suite simple

(5) Aq, A|, Ai A/i ;

on peut donc résumer les deux propositions précédentes dans le théorème suivant :

VII. Le nombre des racines réelles de Inéquation f{x) est égal, ou inférieur d^ un nombre pair au nombre des permanences de la suite (5).

Le nombre total des variations et des permanences de la suite (5) est égal à /?, nombre total des racines réelles et imaginaires; il faut exclure ici le cas dans lequel certains termes de la suite (5) seraient nuls. Gomme, d'autre part, les termes extrêmes sont de même signe, le nombre des variations est un nombre pair. On