CHAPITRE IX. -* LIMITES DU NOUBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES. 3yi

peut donc énoncer le théorème suivant (sans dire d'ailleurs quelque chose de nouveau) :

VIll. Le nombre des racines imaginaires de f{x) est au moins égal au nombre des variations de la suite (5).

Pour ces deux derniers théorèmes, il est indifférent que certains des coefficients ai, ^o, • • . , £?/< soient nuls, pourvu qu'aucune des quantités Ây ne le soit.

Considérons Téquation du troisième degré

on trouve

La suite

«o^'^-H «i^*-H a^x -f- as = o;

Ai = i{a\ — 3aoa,), A2= ^(aj — 3 ai 03).

présente donc deux variations lorsque Tune des quantités Ai ou A2 est négative, ou que toutes les deux le sont; dans ces deux cas, l'équation a donc deux racines imaginaires.

Lorsque A| et A2 sont positifs, notre théorème seul ne suffit plus; il faut encore considérer la quantité

B = 9^X0^3 — ^laj, ainsi que le signe de

Prenons ensuite l'équation du quatrième degré; les expressions à considérer sont

Aj =^ 3a I — Saoast

A2=4«î — 9«i«3, A3= 3aJ — %a^ai^.

Si les signes de ces termes se présentent dans l'ordre 1 , on

a quatre racines imaginaires; si tous les signes sont positifs, on peut avoir quatre, deux ou zéro racines imaginaires; dans tous les autres cas, il y en a deux ou quatre.

S72 Linc II. — IMS ftiGcns.

§ 1 10. — Critérium de Jaeobi.

JacobS a déduit du ihéorème de Descaries une limite supérieure du Dombre des racines comprises entre deux nombres 2 et ^. Soit en effet

Téqualion proposée; Jaeobi pose (*)

il en déduit l'équation

les coefficients b^^ 6| , . . ., bn sont des fonctions entières et homogènes de a et de p, et des fonctions linéaires des coefficients de /(x). Lorsque x croît de a à ^^ y croît de o à -[- oc. L'équation ^(y) =r o a donc autant de racines positives que réquationy( jr)= o a de racines comprises entre a et ^.

On déduit alors du théorème de Descartes la proposition suivante :