CHAPITRE 1. — FONCTIONS RATIONNELLES. /Jq

§ 9. — Interpolation.

Faisons usage des dernières formules établies, pour la résolution d'un problème de la théorie de l'interpolation.

On demande de trouver une fonction rationnelle et entière de Xj qui, pour n H- i valeurs données de x^ prend des valeurs données à r avance.

Il s'agit donc de déterminer les /i -h i coefficients «q, «i , . • . , an de la fonction

(i) /(a?) = ao^'*-H«i^'*"** -»-• • .-H O/

à cet effet, il suffit de résoudre le système des aî-h i équations

(a) /(ao) = Ao, /(a,) = Ai, ..., /(««)= A;,;

a^, ai, . .., oLfi sont les valeurs données de X] Ao, A|, . . , A« sont les valeurs correspondantes Aef{x), Les équations (2) forment un système d'équations linéaires qu'on sait résoudre d'une façon générale à l'aide de déterminants, comme nous le verrons dans le Chapitre II. Nous reviendrons plus tard sur le problème qui nous occupe; pour l'instant, nous ferons Thypothèse que les valeurs attribuées à x sont les ai -t- i premiers nombres o.

Les coefficients binomiaux, supposés définis par la formule (6) du § 7, conservent un sens, même lorsque n n'est pas un nombre entier, comme on l'a supposé jusqu'ici, mais bien un nombre variable arbitraire. Soit alors

une fonction rationnelle et entière de a:, du degré v (*). Le coefficient de x"* est différent de o; par suite x^ peut être exprimé en fonction de Ci et des puissances de x d'exposant moindre. Il en

(0 La signification de ces coefficients binomiaux généralisés, au point de vue du développement des puissances du binôme, est du domaine de l'Analyse. W. 4

5o LITRE I. — LES PRINCIPES.

résulte que chaque fonction de x^ de degré ai, peut se mettre sous la forme d'une fonction linéaire des quantités C® , C^, . . ,, G!J,

(4) /(^) = MoC°H-MiGi-+-..,-HMnCÎ;

Mu, M|, .. ., M/t sont des constantes dont la détermination entraîne celle de la fonction /(a;).

D'après nos hypothèses, /(o), /(i), ..., f{n) sont des nombres donnés; d'après la formule (3), C]J. est nul quand x prend les valeurs Oy i, '2, . . ., (v — i). Si donc, dans l'équation (4) on remplace X par les valeurs o, i, 2, ..., /i, on trouve, pour déterminer les coefficients M, les équations linéaires suivantes

/(o)=MoGi!,

/(i) = MoC; + MiG},

/(/i) = Mo GJ -h M, Gi^. . . .+ M« G,r

Il s'agit maintenant de résoudre ces équations par rapport àMo, M^, M2, . . ., M,|, ce qui se fait très facilement à l'aide de la formule (5) du paragraphe précédent. La première des équations (5) donne directement

(6) Mo=/(o).

Additionnons la première et la seconde des équations (6), après avoir multiplié leurs deux membres respectivement par CJ et — Cj; il vient

~m, = g;/(o)-gî/(i).

En général, multiplions les deux membres des v premières équations (5) respectivement par

Co r* i r' -4- r^

et ajoutons; il vient

. (7) ±Mv=G,?/(o)-G,î/(i)-hCvV(2)-..-±GÏ/(v).

La fonction (4) est donc déterminée et le problème est résolu. Il est clair que toute fonction entière et rationnelle de x peut être