CHAPITRE IX. — LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES

ègaly OU inférieur d^un nombre pair au nombre des variations-permanences de la double suite

60, b\^ Oj, . . . , O/i, Bq, Bi, Bf, . . . , B/|.

§ 111. — Comparaison géométrique des différentes règles,

d'après M. Klein.

Pour comparer entre elles les différentes règles, M. Klein a employé une interprétation géométrique dont nous allons parler. Si Ton ne veut pas opérer dans un espace à plusieurs dimensions et perdre le point de vue géométrique concret, on est obligé de se borner aux premiers cas.

Commençons par Téquation du second degré

(i) j7*-haj7 H- 6 = o.

Considérons a et 6 comme les coordonnées rectangulaires d^un point du plan; chaque point du plan sera Taffixe d\ine seule équation, et réciproquement toute équation du second degré a pour affixe un point et un seul du plan. L'équation

représente une parabole, lieu géométrique des affixes des équations à racines égales. Les points intérieurs, c'est-à-dire situés dans la concavité de la parabole, représentent les équations à racines imaginaires, les points extérieurs, les équations à racines réelles.

Formons (§ 95) la suite de Sturm

(3) x*-{- ax -h b, 2X -h a, a' — 4^j

et cherchons ses variations. En considérant x comme une constante, a et 6 comme des variables, Téquation

X* -h ax + 6 = 0 représente l'équation de la tangente à la parabole au point

374 LITRB II. — LES RACI5ES.

de plus, X'-i- ax -f- b est positif dans celle des deux régions du plan déterminées par la tangente, qui contient la parabole.

Cette tangente et la parabole divisent le plan en quatre régionrs dans lesquelles on trouve respectivement o, i , 2 variations {fi g- 16) pour la suite (3).

Fig. 16.

Si donc on fait successivement x = a et x = ^, on obtient deux de ces tangentes et, par suite, une division du plan en quatre région s, contenant les affixes des équations qui ont zéro, une ou deux racines entre cf et p. Dans ]z Jig. 17, on a distingué ces régions par les cbilTres qui leur conviennent. On voit aussi

Fig. 17.

que les points se distinguent par ce fait que le nombre des tangentes issues de ce point à la parabole et ayant leur point de contact entre a et fS est égal à zéro, un ou deux, hdi Jig. 17 donne la représentation complète des différents cas.

Appliquons maintenant le théorème de Budan. Il faut examiner les signes des fonctions