CHAPITRE IX. — LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES. 3j

c'est-à-dire

(4) x^-h ax-h àj ix-^a, I.

Les deux droites

ar'-h ax -I- 6 = o, 'ix -\- a = o

divisent le plan en trois régions, dans lesquelles la suiie (4) présente le nombre de. variations indiqué sur la fig» i8. En prenant

Fig. i8.

de nouveau deux valeurs a: = a et a: = p, on trouve ainsi six régions; l^Jlg. 19 indique le nombre de variations perdues pour chacune d'elles. Dans les régions o ou i, le nombre de variations

Fig. 19-

perdues indique exactement le nombre des racines. Mais, dans la région 2, il y a incertitude; on ne sait pas s'il y a deux racines ou s'il n'y en a aucune.

Prenons enfin la règle de Jacobi (§ HO). Pour trouver le nombre des racines réelles comprises entre a et p, on met l'équation proposée (i) sous la forme

(a -4- 3^)5+ a(a -I- Pj) (i -+-7) -h ^(i -h^)* = o

OU bien

(p*+a3 -f- 6)j^»+[aaP-4- a(a+ p) -4- 26]^ -+- a*-h aa -4- 6 = 0.

Il s'agit alors de compter le nombre des variations que présentent les trois fonctions

6,= 2«p-l-a(a-h P)-i-2 6, 62= a* -h aoL-h b.

En égalant à zéro la première et la troisième des deux expressions précédentes, on trouve précisément les deux tangentes à la parabole aux points a et p. L'expression intermédiaire s'annule pour a = — aa, è =r a^ et pour a = — 2^, b= p^. Elle représente donc la corde des contacts; elle est 'd'ailleurs négative dans la région du plan qui contient le point d'intersection des deux tangentes; en ce point, elle prend la valeur — (^ — a)^.

Nous obtenons ainsi cinq régions, avec zéro, une ou deux variations; elles sont indiquées sur \^ fig, 20. D'après cette figure et la précédente, on voit que le domaine d'incertitude, correspondant à l'emploi du critérium de Jacobi, est une partie de celui

que l'on trouve par l'emploi du théorème de Budan et Fourier; celui de Jacobi mérite donc la préférence contrairement à une remarque de Jacobi, qui attribuait l'avantage au théorème de Budan. Il est vrai qu'il reste encore à vérifier si ces remarques restent vraies pour les équations de degré supérieur (' ).

(•) Voir F. Klein, Considérations géométriques sur la détermination du nombre des racines réelles d'une équation algébrique, dans le Catalogue des modèles mathématiques de Dyck; Munich, 1893.