CHAPITRE IX. — LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES

Pour appliquer le critérium de Newton (§ HO) aux équations du second degré, il faut encore former Bq, B|, B2; Bo et B| sont toujours positifs et peuvent être remplacés par i. La valeur de B, est égale à {a^ — 4 ^)^ (* — ?)' î oi^ est donc ramené à compter le nombre des variations-permanences dans la suite double

I, B|, I, ce qui fait connaître dans ce cas le nombre exact des racines.

§ 112. — Détermination d'une limite supérieure de la valeur des racines.

Nous avons déjà fait usage, dans le Chapitre III, de cette proposition que Ton peut toujours trouver un nombre positif dont le module soit supérieur à celui de toutes les racines d'une équation donnée. Il s'agit maintenant de déterminer cette limite par un procédé aussi simple et aussi exact que possible.

Bornons-nous d'abord au cas des racines réelles, et cherchons un nombre positif supérieur à la plus grande racine positive d'une équation donnée /(x) = o.

Le théorème de Budan nous fournit cette limite. Supposons que le coeffîcient de la plus haute puissance de x àdJis f{x) soit égal à I (ou du moins soit positif); on peut toujours trouver un nombre a suffisamment grand, pour que tous les nombres

soient positifs. Alors la suite des fonctions

ne perd plus de variations quand on passe de ^ = a à j: =-[- 00: donc (§ 407, th. I) l'équation f(^x)= o n'a pas de racine entre a et -h 00.

Si l'on veut déduire du même théorème une limite inférieure des racines négatives, on choisira le nombre positif ^ de façon que les nombres

38o LIVRE II. — LES RACINES.

§ 113. — Limite du nombre des racines Imaginaires.

Nous avons donné au § 103 le moyen de déterminer le nombre exact des racines complexes d'une équation, sises à Tintérieur d'un contour fermé donné, en nous servant de la caractéristique d'un certain système de courbes.

La règle indiquée peut se simplifier, lorsqu'on ne cherche plus le nombre exact de racines, mais bien une limite supérieure de leur nombre; elle suffit d'ailleurs dans beaucoup de cas pour la détermination exacte.

Soit donc, comme au § 103,

(i) V(z)=^(x, y)-h id/(ar, y)

une fonction réelle ou imaginaire de la variable complexe x -hyf'f 3 et ^ étant des fonctions réelles de x et y, traçons un contour fermé/. Nous pourrons énoncer la proposition suivante :

XI. Si la courbe f est dwisée par la courbe (f en 2 m segments, sur lesquels p est alternativement positif et négatif, le nombre des racines deF(z) situées à l'intérieur du contour f est au plus égal à m\ il en est de même lorsque f est dii^isée par if en 1 m segments pour lesquels la condition analogue est. remplie.

Cette proposition est une conséquence immédiate du théorème Il sur les caractéristiques (§ 103)^ il donne en effet

A:=I[E(/;çp, d;)~S(/;ç>,4.^];

si la courbe f est rencontrée par la courbe «p en 2/n points, on aura

'^ = J[E(/; ?,'}')+ S(/;(p, 4;)]; donc

D'après le théorème rappelé, k est égal au nombre des racines