CHAPITRE IX. — LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES

de F, situées à l'intérieur de /; S(/; cp, •]/) est un nombre qui n^est jamais négatif.

On raisonnerait de même avec la formule

§ 114.— Théorème de Relie.

Lorsque l'équation y( a;) = o admet deux racines réelles a et ^ avec les ordres de multiplicité respectifs a et 6, on peut poser

(i) /(a7) = (ar-a)«(:rr-P)Vi(^).

Si a est plus petit que ^, ^i de plus a et [3 sont deux racines consécutives, /(ic) et/i (a:) auront un signe invariable dans tout l'intervalle (a, p).

En prenant les dérivées des deux membres de (i), il vient

(2) ^^ f{x) =a(ar-P)-h6(a7-a) + (a:-a)(a7— ?)^*^.

Pour a; = a, le second membre prend la valeur négative a (a — j3); pour ^ = p, il prend la valeur positive è((3 — a); donc, lorsque X croît de a à [3, il passe par zéro une fois ou un nombre impair de fois. Dans le premier membre, x — a, ^ — fi e\,f{x) conservent un signe constant; donc/'(^) s'annule une fois ou un nombre impair do fois. On en conclut le théorème de Rolle :

XII. Entre deux racines consécutives de V équation f(x)=io^ il y a (sans compter les limites a et (3) une ou un nombre impair de racines de l'équation dérivée f'{x)=^o.

On en déduit des conséquences importantes pour le cas où l'équation a toutes ses racines réelles. Soient a, j3, y, ... ces racines rangées par ordre de grandeur; a^ b, c, ... leurs ordres de multiplicité respectifs ; les nombres a, p, y? • • • seront racines de l'équation f'(x) = o avec les ordres de multiplicité a — i, b — I, c — i)**'9 6lle admet de plus au moins une racine entre a

<'l 3, une entre 3 el -' Le nombre total de ces racines est

d'autre part

<:l, comme y"(\r) = o est du degré n — i, ce nombre minimum de racines n^est pas dépassé. Il en résulte cette proposition :

XI] i. L'équation /(x)^= o avant toutes ses racines réelles, il en est de même de l'équation dérivée f\x)^= o. Celles de ces racines qui ne sont pas égaies à des racines multiples de r équation f{jr) = o sont simples et sont séparées par les racines de f{x)= o.

Par l'application répétée de ce théorème, on arrive à la proposition suivante :

XI\ . Si la fonction f{x) a toutes ses racines réelles, il en est de même des fonctions f'{x)^ f^{x), .... Si l'une de ces fonctions f'^^{x) admet une racine a avec l'ordre de multiplicité a, plus grand que i , a est une racine d'ordre <3r -h v def{x).

On peut généraliser notablement ces propositions, par Temploi d'une transformation linéaire ('). Celle opération se fait plus aisément avec des notations homogènes ; f{x, y) est alors la forme homogène du degré n.

Formons «les polaires de celle fonction (§ 66) pour un certain système de valeurs (Ç, r^) des variables :

ces fonctions reslenl invariables quand on transforme Ç et r^, X el y par la même transformation linéaire, et quand on rem-

(') Laquerre, Nouvelles Annales de ^Mathématiques, i* sér., t. XIX; i8«o.