CHAPITRE IX. — LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES

place / et ses dérivées par les fonctions transformées correspondantes. Une transformation linéaire ne produit aucun changement dans la réalité des racines. D'autre part, lorsque Ç et yj sont réelles, on peut choisir la substitution linéaire de telle sorte que les valeurs transformées soient Ç'= i et t/= o ; de cette manière, en faisant j'= i, les polaires deviennent les dérivées successives de la fonction /(^), abstraction faite de certains facteurs numériques.

// en résulte que, dans les théorèmes XIII et XIV, on peut remplacer les dérivées f'{jc)^ f"{^) • • • P^f^ '<?^ polaires Pi (j:, Ç), ^^{x^ Ç), . . . , $ e^ Tj étant des nombres arbitraires.

Appliquons ceci à Féqualion que Ton obtient en égalant à zéro la polaire d'ordre n — 2

L'équation /(^,^) ^= o ayant toutes ses racines réelles, il en est de même de l'équation du second degré (4), et, par suite, le hessien

sera négatif pour toutes les valeurs réelles de Ç et de 7\. Il ne pourra être nul que lorsque l'équation (4) a ses deux racines égales; d'après le théorème XIV, cela n'est possible que si /(x, y) est la /i'^"® puissance d'une fonction linéaire. Si nous excluons ce cas, il en résulte cette proposition :

Une équation ayant toutes ses racines réelles^ V équation obtenue en égalant son hessien à zéro n*a que des racines imaginaires.

Revenons à la représentation non homogène; le théorème d'Euler nous donne

(6) \ ^f.*-^yfjry=(n — ^)/^y

à l'aide de ces relations, nous éliminerons du hessien ^j', /J^, , /y,.

Elles donnent, en faisant y z=z i,

(7) \/ly^in-i)f\x)^x/'(^h

( /;. = n{n -i)f(x) --i(n- \)xf\x) 4- x^ f\x).

Il en résulte, en posant

rs) ' • (/i-i)H(x.j) = /;../;.-(/.V)%

que

(9) H(^> r) = H(:r) =-- n Ax)f'{x) - (/i -i)[/(a^)]*.

H(jc) est au plus du degré a/i — 4 par rapport à x.

§ 115. — Théorèmes de Laguerre sur les équations qui ont toutes leurs racines réelles.

Il nous reste à faire connaître l'application que Laguerre a faite des derniers théorèmes démontrés aux équations dont toutes les racines sont réelles.

Soit f(x)= o une équation de degré n, ayant /i racines réelles et distinctes a, ai , a^, . . . •

X étant une grandeur variable, on sait qu'on a la formule déjà plusieurs fois employée [§ 14, (i i)]

\x~a/ fi^x)

la somme S étant étendue à toutes les racines a, ««, a^, ....

Dérivons par rapport à x les deux membres de l'identité (i); il vient

.,. cf ' 1 [/(^)p-/(r)/'(T).

ou bien, en introduisant dans le second membre la fonction H [§ii*,(9)],

Transformons celte formule par une transformation linéaire, dans